动态VaR

1沪市动态VaR计量模型分析案例西南财经大学统计学院马丹一、案例背景金融风险是指由于经济活动的不确定性而导致资金在筹措和运用中遭受损失的可能性。在20世纪80年代以前，金融机构所面临的风险还主要是信用风险。然而，近20多年来金融市场发生了重大变化，全球化的证券市场迅猛发展，资产证券化的趋势越来越强，外汇交易和衍生品交易成了金融市场交易的重要组成部分。这使得金融机构所面临的主要风险已从信用风险转向了市场风险。市场风险度量的方法有多种，VaR（Value-at-Risk）方法是目前金融市场风险测量的主流方法。VaR是一定的概率水平下，证券组合在未来特定一端时间内的最大可能损失。其优点在于将不同的市场因子、不同市场的风险集成为一个数，较准确测量由不同风险来源及其相互作用而产生的潜在损失，适应了金融市场发展的动态性、复杂性和全球整合性的趋势。应该注意的是，VaR本身的含义是风险价值，是一个数值，但是它是由一系列统计方法实现的，因此在许多场合它又被称为风险度量方法。VaR方法是由JPMORGAN公司率先提出来的，并在实践中得到广泛应用。其在风险测量合管理中的巨大优点已为国际金融监管当局认可和接受，1990年以来的许多金融监管法案和原则都充分强调了基于VaR的风险监管方法。巴塞尔委员会的巴塞尔银行业有效监管核心原则、欧盟的资本充足法令等都要求金融机构用VaR技术确定内部风险资本要求、风险控制等。VaR计算方法包括历史模拟法、方差——斜方差法和蒙特卡罗模拟法。历史模拟法和蒙特卡罗模拟法由于在技术上较为复杂，较难实现，因此，在实践中常用的方法仍然是方差——斜方差法。方差——斜方差法中有两个需要注意的问题。一是如何刻画金融数据的尖峰厚尾、波动簇集的时变特征。二是如何寻找金融数据的分布密度函数。RiskMrtricsTM利用指数平滑技术来反映波动时变现象，并假定金融数据服从正态分布。然而，大量文献资料证明，金融数据有强烈的ARCH效应，其尾部和中间部位集中了大量的概率分布，比正态分布拥有“肥尾”特性。金融数据的集群性，异方差性等特征显然违背了古典假设，利用传统的基于古典假设的回归模型，OLS建模方法难以刻画出真实的数量规律，所做出的统计推断也是不精确的。为了对金融数据做出有效的描述，Engle于1982提出了ARCH模型，模拟出数据的集群性特征，他的学生Bollerslev在1986年提出了GARCH（GeneralizedAutoRegressiveConditionalHeteroscedasiticity）模型[1]，将高阶的ARCH模型转化成为简洁的GARCH模型,描绘出金融数据方差项的某种自相关性。但实际应用中，GARCH模型虽然有助于模拟金融数据分布的宽尾特征，却不能解释金融市场上存在的杠杆效应。针对这一问题，近年来Nelson等人提出了非对称性（Asymmetric）GARCH模型以刻画出条件方差对正的价格变化反应弱而对负的价格变化反应强这一现象。这类模型包括TARCH、EGARCH等，收益率序列残差往往假定为正态分布，但实际上正态GARCH模型不能充分描述数据的尖峰厚尾性。对此，可以假定残差服从t分布、混合正态分布或一般误差分布。本案例讨论了基于Normol-GARCH、t-GARCH的中国股市动态VaR测度方法，并比较了两种假定下VaR的估计效果。2二、GARCH模型与VaR计算方法简介1、VaR计算模型VaR（Value-at-Risk）是一定时期内，在一定的置信度下，投资组合可能出现的最大损失，用公式表示为：VaR=111pFtep（1）其中，F是收益序列的分布函数，p为给定的显著性水平，即左尾概率。如果是静态VaR只需利用极大似然法估计出参数和，将之代入计算公式即可。2、基于GARCH模型的VaR计算方法VaR估计的条件方差方法属于动态VaR计算的分析方法,由于实际金融市场中收益率的厚尾性会导致VaR对风险的低估,因此可以利用GARCH模型类中的条件方差来度量股票市场VaR。这样，VaRtthzp1，其中th是由GARCH模型估计得到的条件方差，z根据收益率分布决定。GARCH模型的一般表达式可写成：tttitqiijtpjjttthhhxr211/（2）其中，th为条件方差,tv为独立同分布的随机变量,th与tv互相独立。一般常假定tv为标准正态分布。但正态性往往不足以反映金融数据的厚尾性，Nelson和Hamilton提出用广义误差分布（GED）和t分布来刻画尖峰厚尾特性。tv服从t分布时，相应的对数似然函数为：NtttvhvhvvvL1221log1212log212log21log这里的是GAMMA函数，v是自由度。似然函数可通过对偶牛顿算法或信赖域算法极大化得到。由于股市收益率的波动回随信息的变化而出现非对称性的特点，利空消息引起的波动一般更大，为了刻画波动的非对称性，Nelson等人提出了非对称性（Asymmetric）GARCH模型，包括EGARCH及TGARCH等模型。在EGARCH模型中，条件方差th为延迟扰乱it的反对称函数：pjjtitqiithzgh11lnln，tittitzEzzzg，ttthz在TGARCH模型中，条件方差th表示为：qiitJttpjjttdhh121211其中0,0;0,11111ttttdd3另外，以上模型中qiipjj111，蕴涵GARCH过程为宽平稳。如果将此限制放宽即是积分型GARCH模型，即IGARCH模型。对于IGARCH模型而言，无条件方差并不存在。同时，考虑到股票市场的风险溢价，在均值方程中加入条件方差的函数，得到GARCH-M模型。一般来说，有效的股票市场上股价与其风险是正向相关的。GARCH模型建模程序包括：（1）用Augunmented-DikeyFuller方法检验序列平稳性。（2）用Q统计量识别序列自相关或偏自相关的阶数。（3）用Lagrangemultiplier方法检验序列残差项的异方差性以确定条件方差方程数。（4）用Most—Likelihood方法得到方程中参数的最大似然估计。（5）评价模型。3、VaR模型检验方法对VaR模型可采用Kupiec检验。设N为检验样本中损失高于VaR的次数，T为检验样本总数，P=1-C，C是即定的置信水平。则检验的假设为：PTNH:0PTNH:1似然比统计量为：在原假设下，lr服从于自由度为1的2分布。在大样本条件下，也可以用正态分布来逼近，同样有较好的检验效果。三、沪市动态VaR模型的实证分析1、数据选取和统计描述本案例以上海证券市场综合指数为例，说明VaR的计算。考虑到中国股市是从1996年12月16日起实行涨跌停板限价交易制度的，采用此后的数据可以减少异常值的干扰，提高模型的精度。因此收集的数据为1996年12月16日至2002年10月22日的上证综合指数收盘价格,共计1404个。数据来源于中国股票市场交易数据库和证券之星（）网站。收益率是采用对数一阶差分形式，即设第t日的收益率为tr，则1lnlntttppr，tp是t日上证综合指数的收盘价格。以下模型中的参数估计均是用SAS6.12统计软件实现的。如图1所示，上证综合指数收益率集中在（-0.05，0.05）之间，在波动较大的几个时段上收益率绝对值的峰值达到了0.1,在到达顶峰后又迅速回落。在样本期间，平均收益率为0.00284，偏度为-0.256529，峰度为9.401051，数据分布向左偏移，有一个沉重的尾巴。这说明从整体上看，收益率低于其均值的时候较多，波动性强，尾部和中间包含了大量的统计信息。J-B正态性检验得到的统计量值为2558.392，也说明收益率序列显著异于正态分布。NTNNTNPpTNTNlr1log1log242、GARCH模型族的建立利用Q检验和LM检验识别序列的异方差性，结果见表1。表1异方差性检验结果ORDERQProbQLMProbLMORDERQProbQLMProbLM173.87590.000171.91990.00017189.7010.0001110.0490.00012118.0670.000194.31050.00018192.0700.0001110.0740.00013147.2680.0001103.0770.00019194.1800.0001110.1010.00014166.0160.0001106.4460.000110200.4720.0001112.0860.00015171.4580.0001106.4480.000111207.6410.0001114.0060.00016183.2920.0001109.6040.000112208.6000.0001114.4550.0001检验说明直到高阶收益率序列仍然存在着强烈的异方差性，用ENGARCH模型族来拟合数据是合理的。随后用Augument-DikeyFuller方法对收益率进行单位根检验，得到的ADF值拒绝了单位根的假设，序列是平稳的。对序列tr进行了自相关和偏自相关的检验后，我们选用的均值模型为：ttttthrrcr1512对于Normal和t分布，分别使用ML方法估计其中参数如下：表2GARCH模型估计结果v的估计值为4.255v的估计值为3.891GARCH-MCNormal-0.0033880.0522140.044610.283381.59E-050.2561760.71726(-3.4319)(2.777)(2.507)(3.552)(6.903)(12.931)(40.315)T-0.0032980.0565270.0439250.2733771.6E-050.272770.70626(-3.363)(2.912)(2.491)(3.513)(6.747)(13.099)(39.327)ENCARCH-MCNormal-0.002730.025870.058540.2104-0.68310.32510.9475-0.0367(-3.071)(1.216)(3.23)(2.942)(-8.771)(12.743)(114.78)(-3.197)T-0.00250.02950.05770.1891-0.41520.33570.9484-0.04(-2.315)(3.783)(2.565)(2.307)(-3.145)(6.842)(60.854)(-4.21)-0.15-0.10-0.050.000.050.10200400600800100012001400图1上证综合指数收益5v的估计值为3.901v的估计值为3.955从以上四个模型的估计结果来看，项均统计显著，这说明上海股市有强烈的风险溢价现象，收益的波动会在股价中反映出来。在非对称性模型中，杠杆项也显著异于零，验证了上市存在杠杆效应。由于四个模型的均接近甚至略大于1，具有方差无穷趋势，因此，最后把IGARCH模型引入进来，在该模型中无条件方差发散不存在，只有条件方差存在。v是t分布的自由度，接近于4，统计显著。3、VaR估计结果与检验将GARCH模型族估计得到的条件标准差t代入公式1，即可得到上证VaR值的动态估计。应用四个模型的t，在95%和99%的置信水平下估计的VaR结果如表3，图2-5。表3给出了四个模型在正态假设和t分布假设下的VaR统计特征，图2-5描绘了VaR及相应的损失数据。表3、动态VaR统计特