直线参数方程的几何意义

红旗数学，方法先行不要把自己放在荒野之上第1页共4页一、参数方程及参数等的几何意义★若倾斜角为α的直线过点)(00yxM，，t为参数，则该直线的参数方程可写为为参数，ttyytxxsincos00★若直线过点M，直线与圆锥曲线交于两点P、Q，则|MP|、|MQ|的几何意义就是：||||||||21tMQtMP，；|MP|+|MQ|的几何意义就是：||||MQMP|t||t|21；|MP|·|MQ|的几何意义就是：||||||21ttMQMP；|PQ|的几何意义就是：2122121214)(|||PQ||||PQ|tttttttt，即.例1：已知直线l：01yx与抛物线2xy交于BA，两点，求线段AB的长和点)2,1(M到BA,两点的距离之积。（1）如何写出直线l的参数方程解：因为直线l过定点M，且l的倾斜角为43，所以它的参数方程是43sin243cos1tytx，（t为参数），即tytx222221，（t为参数）①（2）如何求出交点A，B所对应的参数21tt，？把①代入抛物线的方程，得0222tt，222121tttt，（3）||||||MBMAAB、与21tt，有什么关系？由参数方程的几何意义可得：104)(||||2122121ttttttAB||||MBMA=2|2|||21tt红旗数学，方法先行不要把自己放在荒野之上第2页共4页二、求弦的中点坐标★若过点M)(00yx，、倾斜角为α的直线l与圆锥曲线交于A、B两点，则弦的中点坐标公式为：2)sin()sin(22)cos()cos(2201021'201021'tytyyyytxtxxxx或)(22)()(2)(22)()(2212022012021'211021011021'ttpytpytpyyyyttpxtpxtpxxxx，21pp，为常数，均不为零(其中中点M的相应参数为t，而221ttt，所以中点坐标也为：tpyytpxx2010)★若过点M)(00yx，、倾斜角为α的直线l与圆锥曲线交于A、B两点，且M恰为弦AB中点，则中点M的相应参数：221ttt=0（因为tpyytpxx200100，而21pp，均不为0，所以t=0）例2：直线l)(542531为参数，ttytx与双曲线1)2(22xy相交于A、B两点，求弦AB中点M的坐标。解：把)(542531为参数，ttytx直接代入1)2(22xy中，可得：1)531()54(22tt，即0503072tt，则73021tt，所以M的横坐标为：716791)730(21531-,点M的纵坐标为：727122)730(21542（注：这部分内容在演草纸上显示即可）所以中点M的坐标为)72716(，红旗数学，方法先行不要把自己放在荒野之上第3页共4页三．应用部分例3：经过点M(2,1)作直线l，交椭圆141622yx于A，B两点，如果点M恰好为线段AB的中点，求直l的方程。解：设经过点M(2,1)的直线l的参数方程为：)(,sin1cos2为参数，ttytx代入椭圆方程，整理得：08)sin2(cos4)1sin3(22tt由t的几何意义可知|||B|||||21tMtMA，，因为点M在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以1sin3)sin2(cos4221tt.因为点M为线段AB的中点，所以0sin2cos0221，即tt于是直线l的斜率为21tank，因此，直线l的方程是0421)2(21yxxy，即.例4：已知经过点P(2，0)，斜率为34的直线和抛物线xy22相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求点M的坐标.解：设过点P(2，0)的直线AB的倾斜角为α，由已知可得：54sin,53cos.所以，直线的参数方程为)(54532为参数，，ttytx代入抛物线xy22，整理得：0501582tt，中点M的相应参数为1615221ttt，所以点M的坐标是)43,1641(红旗数学，方法先行不要把自己放在荒野之上第4页共4页例5：已知直线l：x+y-1=0与抛物线2xy交于A，B两点，求线段AB的长和点M(-1,2)到A、B两点的距离之积.解法一：解：由201xyyx可得：012xx（*）由韦达定理可得：1-12121xxxx，10524)(k1|AB|212212xxxx由(*)解得25-1-25121xx，25325321yy，记直线与抛物线的交点坐标为A)253251()253,251(，，B，则24)53)(53(5353)2532()2511()2532()2511(||||2222MBMA解法二：解：因为直线l过定点M，且l的倾斜角为43，所以它的参数方程是43sin243cos1tytx，（t为参数），即tytx222221，（t为参数）①把①代入抛物线的方程，得0222tt，222121tttt，104)(||||2122121ttttttAB||||MBMA=2|2|||21tt.