控制工程基础第5章-控制系统的稳定性分析

第五章控制系统的稳定性分析5.1系统稳定性的基本概念5.2系统稳定的充要条件5.3代数稳定性判据（Routh判据、Hurwitz判据）5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist判据）5.5应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性5.6由伯德图判断系统的稳定性5.7控制系统的相对稳定性5.1系统稳定性的基本概念odMFbco稳定性的定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复到原来状态的性能，则该系统是稳定的，否则，该系统为不稳定。5.2系统稳定的充要条件sG1sG1sG2sH+-+N(s)sXisXosNbsbsbsbsXasasasaasasasabsbsbsbsHsGsGsGsNsXmmmmonnnnnnnnmmmmo11101110111011102121撤除扰动，即按照稳定性定义，如果系统稳定，当时间趋近于无穷大时，该齐次方程的解趋近于零，即当时，上式成立，以上条件形成系统稳定的充分必要条件之一。0011101110txatxatxatxasXasasasaononnonoonnnn0sincos11torjjjjjtkitiotxtFtEeeDtxii0,0ji0,0ji对应闭环系统特征根的实部，因此对于定常线性系统，若系统所有特征根的实部均为负值，则零输入响应最终将衰减到零，这样的系统就是稳定的。反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部时，则零输入响应将随时间的推移而发散，这样的系统就是不稳定的。由此，可得出控制系统稳定的另一充分必要条件是：系统特征方程式的根全部具有负实部。系统特征方程式的根就是闭环极点，所以控制系统稳定的充分必要条件也可说成是闭环传递函数的极点全部具有负实部，或说闭环传递函数的极点全部在[s]平面的左半面。ji,5.3代数稳定性判据这一判据是基于方程式的根与系数的关系而建立的。设系统特征方程为021000110101110nnnnnnnnnssssssaaasaasaasaasasasa5.3.1劳斯判据为特征方程的根nsss,,,21由根与系数的关系可求得nnnnnnnnnnnssssssaasssssssssaassssssaasssaa1232101242132103131210221011;;;从上式可知，要使全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件。（1）特征方程的各项系数(i=0，1，2，…，n)都不等于零。因为若有一个系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才能满足上式；此时系统为临界稳定（根在虚轴上）或不稳定（根的实部为正）。（2）特征方程的各项系数的符号都相同，才能满足上式，按照惯例，一般取正值，上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即＞0。但这只是一个必要条件,既使上述条件已满足，系统仍可能不稳定，因为它不是充分条件。iaiaia同时，如果劳斯阵列中第一列所有项均为正号，则系统一定稳定。劳斯阵列为10112124321343212753116420wsvsuusccccsbbbbsaaaasaaaasnnnn其中系数根据下列公式计算：系数的计算，一直进行到其余的值都等于零时为止，用同样的前两行系数交叉相乘的方法，可以计算c，d,e等各行的系数，170613150412130211aaaaabaaaaabaaaaab121211141713131512121311ccbbcdbbaabcbbaabcbbaabc这种过程一直进行到第n行被算完为止。系数的完整阵列呈现为三角形。在展开的阵列中，为了简化其后的数值计算，可用一个正整数去除或乘某一整个行。这时，并不改变稳定性结论。劳斯判据还说明：实部为正的特征根数，等于劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。劳斯判据的表述：1.系统闭环传递函数特征方程式的系数没有为0的，同时都是正数。（必要条件，要想系统稳定必须满足这个条件）2.劳斯阵列的第一列全部为正。（充分条件）如果系统不稳定还可以利用劳斯阵列的第一列变号情况来确定系统极点（即系统闭环特征方程式的根，简称为特征根）在[s]平面有几个。用劳斯判据判断系统稳定性的步骤：1.先判断特征方程式的系数是否全部为正。2.如果全部为正，则列劳斯阵列。3.判断系统是否稳定。例:设控制系统的特征方程式为0516178234ssss试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正值，所以控制系统稳定。53/40515168517101234sssss例2设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列32314233101234sssss03432234ssss第一列中系数改变符号两次，说明闭环系统有两个正实部的根，控制系统不稳定。对于特征方程阶次低（n≤3）的系统，劳斯判据可化为如下简单形式，以便于应用。二阶系统特征式为,劳斯表为故二阶系统稳定的充要条件是2asasa1202011202asasaas0a0,a0,a210三阶系统特征式为，劳斯表为故三阶系统稳定的充要条件是322130asasasa30030211312203asaaaaasaasaas3021210aaaaa0,a0,a0,a03劳斯判据两种特例：1).某一行的第一列数值为00122234ssss解:1)所有系数都为正.2)劳斯阵列：1221)(02211101234sssss系统不稳定，有两个右半平面的根2).劳斯阵列整行为00161620128223456ssssss00016122161221620813456ssss列辅助多项式16122)(24ssspassdssdpa248/)(3)248(3s解:1)所有系数都为正.2)劳斯阵列：1603/8166)248(00016122161211620810123456sssssss不变号，没有右半平面的根.思考:这个系统是否稳定?5.3.2赫尔维茨稳定判据例:设控制系统的特征方程式为试应用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。各系数排成如下的行列式0516178234ssss51710016800517100168由于0168051710168301711682081051710016800517100168故该系统稳定。5.4乃奎斯特稳定性判据米哈伊洛夫定理是证明乃奎斯特稳定性判据的一个引理，其表述为：设n次多项式D（s）有P个零点位于复平面的右半面，有q个零点在原点上，其余n-P-g个零点位于左半面，则当以s=jω代入D（s）并令ω从0连续增大到∞时，复数D（jω）的角增量应等于：5.4.1米哈伊洛夫定理2222arg1qpnpqpnssini证：（1）设S1为负实根，对于矢量（S-S1）,当S：0→jω变化时图5-4负实根情况2arg1ssS1ImRe2图5-5具有负实部的共轭复根情况因此，（n-p-q）个左根的总角变化量为（n-p-q）π/2ImReS2ImS3Im设S2、S3为具有负实部的共轭复根，S2=-a+jb(a0,b0)S3=-a-jb对于矢量（S-S2）和（S-S3）,当S：0→jω变化时22argargarctan2argarctan2arg3232ssssabssabss设Sm为正实根，对于矢量（S-Sm）,当S：0→jω变化时图5-6正实根情况2argmssSmImRe2ImRe1mSIm2mSImab-b设Sm+1、Sm+2为具有正实部的共轭复根，Sm+1=c+jd(c0,d0)Sm+2=c-jd对于矢量（S-Sm+1）和（S-Sm+2）,当S：0→jω变化时因此，p个左根的总角变化量为p(-π/2)。22argargarctan2argarctan2arg2121mmmmsssscdsscdss另外，原点根不引起角变化量。综上，有：推论：如果n次多项式D(s）的所有零点都位于复平面的左半面，则当以s=jω代入D（s）并命ω从0连续增大到∞时，复数D（s）的角连续增大:2222arg1qpnpqpnssini2arg1nssini5.4.1乃奎斯特稳定性判据设反馈控制系统前向通道和反馈通道传递函数分别为则其开环传递函数为sAsBsHsAsBsG22111,sDsNsAsBsAsBsHsGKK22111分子为系统闭环特征多项式，而分母为系统开环特征多项式。由于系统开环传递函数分母阶次大于等于分子阶次，故分子分母阶次相同，均为n阶。sDsNsBsBsAsAsBsAsXsXBBio212112sDsDsAsAsBsBsAsAsHsGKB21212111（1）如果开环极点均在s左半平面，则根据米哈伊洛夫定理推论，这时如果闭环系统是稳定的，即的所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，则2argnjDK0:2argnjDB0:0:01arg1jHjG（2）如果开环特征多项式有P个根在s右半平面，q个零点在原点，其余（n-p-q）个根在s左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论，这时如果闭环系统是稳定的，即的所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，22argqpnjDK0:sDB2argnjDB0:则或开环乃氏图相对（-1，j0）点的角变化量为，系统闭环后就是稳定的。也就是说，对于一个稳定的闭环系统而言，当ω从0连续增大到∞时，开环传递函数在右半平面的每一个极点使角增量为180°；开环传递函数在原点处的每一个极点使角增量为90°。22221arg1qpqpnnjHjG0:2qp这样，闭环系统是否稳定，可以从开环频率特性的角增量来判断。设开环特征多项式在右半平面有p个根，原点处有q个根，其余（n-p-q）个根在左半平面，则乃奎斯特稳定判据可表述为：对于系统开环乃氏图，当ω从0到∞变化时，其相对（-1，j0）点的角变化量为时，系统闭环后稳定。2qp乃氏判据第一种表述例5－8K/(Ts-1)Xi(s)+X0(s)_-1K1K1P＝1，q＝0，稳定条件为p∏＋q∏/2＝∏例5－9-1,j0K=10-1,j0K=40)105.0)(11.0()(SSSKSGP＝0，q＝1，稳定条件为p∏＋q∏/2＝∏/2例5－10