第5章控制系统的稳定性分析

第五章控制系统的稳定性分析控制系统能在实际中应用的首要条件就是必须稳定。一个不能稳定的系统是不能工作的。判别系统稳定性的准则，也称为系统的稳定性判据。罗斯、赫尔维茨判据:是依据闭环系统特征方程式对系统的稳定性做出判别，它们是一种代数判据。奈奎斯特判据:是依据系统的开环奈奎斯特图与坐标上（-1，j0）点之间的位置关系对闭环系统的稳定性作出判别，这是一种几何判据。波德判据:实际上是奈奎斯特判据的另一种描述法，它们之间有着相互对应的关系。但在描述系统的相对稳定性与稳态裕度这些概念时，波德判据显得更为清晰、直观，从而获得广泛采用。跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动。1940年11月7日，一阵风引起了桥的晃动，而且晃动越来越大，直到整座桥断裂。第一节控制系统稳定性的基本概念一．稳定性的定义如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，经过充分长的时间，这个系统又能够以一定的精度逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的。否则，称这个系统是不稳定的。a）稳定tttb）不稳定c）临界稳定图5-1系统稳定性示意图y(t)y(t)y(t)图(a)是一个摆的示意图。设在外界干扰作用下，摆由原来平衡点M偏到新的位置b。当外力去掉后，显然摆在重力作用下，将围绕点M反复振荡，经过一定时间，当摆因受空气阻尼使其能量耗尽后，摆又停留在平衡点M上。像这样的平衡点M就称为稳定的平衡点。对于一个倒摆，图(b)所示，一旦离开了平衡点d，即使外力消失，无论经过多少时间，摆也不会回到原平衡点d上来。对于这样的平衡点d，称为不稳定平衡点。图示小球处在a点时，是稳定平衡点，因为作用于小球上的有限干扰力消失后，小球总能回到a点，而小球处于b、c点时为不稳定平衡点，因为只要有干扰力作用于小球，小球便不再回到点b或c点。a小球的稳定性bc上述两个实例说明系统的稳定性反映在干扰消失后的过渡过程的性质上。这样，在干扰消失的时刻，系统与平衡状态的偏差可以看作是系统的初始偏差。因此，控制系统的稳定性也可以这样来定义:若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统为稳定。否则，称该系统为不稳定。注意：稳定性是控制系统自身的固有特性，它取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关。二、判别线性系统稳定性的基本准则基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲x(t)=(t)，这时系统的输出增量为y(t)。这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的问题。若t→∞时，脉冲响应即输出增量收敛于原平衡点，则线性系统是稳定的。lim0tyt设线性定常系统输入为x(t)，输出为y(t)，线性定常系统的动态特性，可用如下的常系数线性微分方程来描述：（5-1）nn1nn110nn1mm1mm110mm1dytdytdytaaaaytdtdtdtdxtdxtdxtbbbbxtdtdtdt式中，n≥m;an、bm均为系统结构参数所决定的定常数。（n，m=0、1、2、3…）11101110()()mmmmnnnnbsbsbsbYsXsasasasa由于输入为脉冲函数(t)，X(s)=1，所以1110111012211()()()(2)mmmmnnnnmiiqrjknknkjkbsbsbsbYsasasasaKsZspss（5-2）rknknkkkkqjjjssCsBpsAsY12212)(（5-3）上式的拉氏反变换为11()cossinjknkqrpttkknkkjkdkdkjkdkCBytAeeBtt（5-4）为便于分析，假定闭环传递函数有q个相异的实数极点及r对不相同的共轭复数极点，则如果所有闭环极点都在s平面的左半面内，即系统的特征方程式根的实部都为负，当t→∞时，方程（5-4）式中的指数项e-pjt和阻尼指数项e-knkt将趋近于零。即y(t)→0，所以系统是稳定的。系统稳定的充要条件：特征方程的根均具有负的实部。即：闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面的左半平面内。设系统闭环传递函数为11101110()()mmmmnnnnbsbsbsbYsXsasasasa001-1-1asasasannnn（5-5）则系统的特征方程为例某单位反馈系统的开环传递函数则系统的闭环传递函数)1()(GTssksksTsksGsGs2)(1)()(特征方程式为特征根02ksTsTTks24112,1因为特征方程根具有负实部，该闭环系统稳定。特征根中只要有一个是正实根，则式(5-4)的解就发散，系统就不稳定；当特征根中的共轭复根具有正实部时，式(5-4)解呈发散振荡，故系统不稳定；若特征根中有零根，则式(5-4)全解中的瞬态分量将趋于某个常值，相当于系统偏离平衡状态，故系统也不稳定；若特征根中含有共轭虚根，则式(5-4)的解呈等幅持续振荡，这时系统出现所谓临界稳定状态。从控制工程实践角度看，一般认为临界状态也是属于不稳定的范畴。当特征根中没有零根，没有共轭虚根，并且所有实根都是负的，共轭复根具有负实部时，式(5-4)的解是指数衰减的，或衰减振荡的，因而系统稳定。总结：第二节控制系统的稳定判据判别系统是否稳定，就是要确定系统特征方程根是否全部具有负的实部，或者说特征根是否全部位于[s]平面的虚轴左侧。这样就面临着两种选择；1.解特征方程确定特征根，这对于高阶系统来说是困难的。2.讨论根的分布，研究特征方程的是否包含右根及有几个右根。罗斯—赫尔维茨稳定判据，是一种不需求解系统的特征方程，而是通过对特征方程的系数分析来判别系统是否有正实根或具有正实部的复数根，从而确定系统是否稳定的一种代数方法。一、代数稳定判据)()(1)()()()(sHsGsGsXsYsG(s)H(s)X(s)Y(s)+-图5-2系统的框图1.罗斯（Routh）稳定判据系统传递函数为系统的特征方程式可表示为)()()()()(1)()(1sAsBsAsAsBsHsG设)()()()(sAsBsHsG-1-110-1-10112()()()0nnnnnnnnnnnnnDsAsBsasasasaaaaasssaaaassssss则式中，s1，s2，···，sn-1，sn为系统的特征根。（5-6）-112-212131-3123124210123421nnnnnnnnnnnnnnnnasssaassssssaasssssssssaasssssssa将式（5-6）的因式乘开，由对应系数相等，可求得根与系数的关系为（5-7）从式（5-7）可知，要使全部特征根s1，s2，···，sn-1，sn均具有负实部，就必须满足以下两个条件：（1）特征方程的各项系数ai(i=0，1，2，···，n)都不等于零。因为若有一个系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才能满足式（5-7）。此时系统为临界稳定（根在虚轴上）或不稳定（根的实部为正）。（2）特征方程的各项系数ai的符号都相同，才能满足式（5-7），按着惯例，ai一般取正值（如果全部系数为负，可用-1乘方程两边，使它们都变成正值）。上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即ai0。要使全部特征根均具有负实部，首先必须满足：1.特征方程的各项系数ai(i=0，1，2，···，n)均不为零。2.特征方程的各项系数ai符号一致。以上只是判定系统稳定的必要条件，而非充要条件，因为此时还不能排除有不稳定根的存在。罗斯稳定判据可以用来校验特征方程是否满足系统稳定的充分条件。罗斯判据的证明比较麻烦，这里只介绍它的应用。特征方程系数的罗斯阵列如下：1011213-3212-7-5-3--1-16-4-2-esdsccsbbbsaaaasaaaasnnnnnnnnnnnn在上面的罗斯阵列中bi、ci、di、ei的计算公式如下：141713176131315121541212131113211bbaabcaaaaabbbaabcaaaaabbbaabcaaaaabnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn（5-8）罗斯阵列的计算顺序是由上两行组成新的一行。例如由第一行与第二行可组成第三行，在第二行第三行的基础上产生第四行，这样计算直到只有零为止。一般情况下可以得到一个n+1行的罗斯阵列。而最后两行每行只有一个元素。每行计算到出现零元素为止。把an，an-1，b1，c1，…，d1，e1称为罗斯阵列中的第一列元素。罗斯稳定判据的必要且充分条件是：（1）系统特征方程的各项系数皆大于零，即ai0；（2）罗斯阵列第一列元素符号一致，则系统稳定。否则系统不稳定。第一列元素符号改变次数就是特征方程中所包含的右根数目。3254323121720()21488200800sssssssss解：闭环系统的特征方程式罗斯阵列为543210114200288800-30-20074.7800121800ssssss例5-1设闭环系统的闭环传递函数是判断系统是否稳定。如不稳定，求出具有正实部的根数。5432214882008000sssss（改变符号一次）（改变符号一次）罗斯阵列第一列有两次符号变化，闭环系统有两个具有正实部的根，故系统不稳定。如果将特征方程解出，可得其根为1234542413ssjsj、、；；其中确有两个带正实部的根s2、3，和用罗斯判据的结果一致。试用罗斯判据判别系统的稳定性。61717746)()(1)()()(234ssssssHsGsGsXsY解：闭环系统的特征方程式0617177)()(1234sssssHsG罗斯阵列为614.12614.580177617101234sssss习题5-1某一系统的闭环传递函数为由于特征方程式的系数以及第一列的所有元素都为正，因而系统是稳定的。)2)(1()(sssKsG习题5-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为试确定K值的闭环稳定范围。解：其单位反馈系统的闭环传递函数为KsssKsGsGsXsY23)(1)()()(2302323Ksss特征方程式为罗斯阵列为363210123KsKsKss习题5-3设单位反馈系统的开环传递函数为若要求闭环特征方程式的根的实部均小于-1，问值应取在什么范围？如果要求根的实部均小于-2，情况又如何？由稳定条件得因此K的稳定范围为0360KK60K1613)(sssKsG解：系统的特征方程式为s3+9s2+18s+18K=0令u=s+1得如下u特征方程0)1018(3623Kuuu10-18391410-186310123KsKsKss罗斯阵列为所以5/9K14/9闭环特征方程式的根的实部均小于-10)818(6323Kuuu由稳定条件知：不论K取何值，都不能使原特征方程的根的实部小于-2。若要求实部小于-2，令u=s+2得如下新的特征方程罗斯判据判断系统的相对稳定性。罗斯判据的两种特殊情况（1）某行的第一列元素为零，而其余项不为零的情况如果在计算罗斯阵列的各元素值时，出现某行第一列元素为零则在计算下一行的各元素值时将出现无穷大而