2.2二项分布及其应用习题课

2.2二项分布及其应用习题课考点总结条件概率的计算条件概率的性质和应用事件独立性的判断相互独立事件同时发生的概率相互独立事件概率的实际应用（系统可靠性问题）服从二项分布的随机变量的概率计算服从二项分布的随机变量的分布条件概率的应用【技法点拨】1.求解条件概率的一般步骤(1)表示：用字母表示有关事件;(2)求值：求P(AB)，P(A)或n(AB),n(A);(3)计算：利用条件概率公式求相应事件的概率.2.求解条件概率的两个注意事项(1)在具体的题目中,必须弄清谁是事件A,谁是事件B,即在哪个事件发生的条件下,求哪个事件的概率.(2)选择求解条件概率的计算法，以达到迅速计算的目的.题型一条件概率(1)10件产品中有2件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件．已知第一次抽到的是正品，则第二次抽到次品的概率为________．(2)市场上供应的灯泡中，甲厂占70%，乙厂占30%，甲厂是产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则市场上灯泡的合格率是________．(2)记A＝{甲厂产品}，B＝{乙厂产品}，C＝{合格产品}，则C＝AC＋BC，所以P(C)＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)·P(C|A)＋P(B)·P(C|B)＝70%×95%＋30%×80%＝0.905＝90.5%.【答案】(1)29(2)90.5%【变式训练】一批晶体管元件，其中一等品占95%，二等品占4%，三等品占1%，它们能工作5000小时以上的概率分别为90%，80%，70%，求任取一个元件能工作5000小时以上的概率.【解题指南】借助条件概率及其变形公式求解.【解析】设Bi={取到元件为i等品}(i=1，2，3)，A={取到元件能工作5000小时以上}，则P(A)=P(B1)P(A｜B1)+P(B2)·P(A|B2)+P(B3)·P(A｜B3)=95%·90%＋4%·80%＋1%·70%=0．894.【规范解答】条件概率在实际中的应用【典例】(12分)已知男人中有5％患色盲，女人中有0.25％患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人.(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率.【规范解答】设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.…………………………………………………………2分(1)此人患色盲的概率P=P(AC)+P(BC)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=………………………6分(2)……………………12分10051000.2521.2001002001008005PAC20200PA|C.21PC21800针对训练1．(2014·山东聊城一模)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是()A.1127B.1124C.1627D.924解析：记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球，则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知：P(B)＝42＋4＝23，P(B)＝1－23＝13；P(A|B)＝3＋18＋1＝49，P(A|B)＝38＋1＝39.从而P(A)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A|B)·P(B)＋P(A|B)·P(B)＝1127，选A.答案：A【技法点拨】与相互独立事件有关的概率问题求解策略明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：相互独立事件概率的求法(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B；(2)A，B都发生为事件A·B；(3)A，B都不发生为事件(4)A，B恰有一个发生为事件(5)A，B中至多有一个发生为事件它们之间的概率关系如表所示：AB；ABAB；ABABAB.A，B互斥B相互独立P(A+B)P(A·B)P(AB)P(ABAB)PABABABP(A)+P(B)1PAP(B)0P(A)·P(B)1-［P(A)+P(B)］PAP(B)P(A)+P(B)PAPBPAP(B)11-P(A)·P(B)例2某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶饮料，若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲，乙，丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.(1)求三位同学都没有中奖的概率；(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.【解题指南】(1)直接利用相互独立事件的概率公式求解；(2)利用互斥事件的概率求解.16相互独立事件概率的求法【解析】(1)设甲，乙，丙中奖的事件分别为A，B，C，则故三位同学都没有中奖的概率为(2)方法一：1PAPBPC.635125P(ABC)P(A)P(B)PC.6216（）＝125.2161P(ABCABCABCABC)231512513().66627（）方法二：故三位同学中至少有两位没有中奖的概率为P(ABCABCABCABC)3251525()3().6662725.27【典例训练】1.在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是()1317ABCD884812系统可靠性问题2．在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率.【解析】1.选B.设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件，且A，B，C相互独立，互斥，所以==EABCABCABCABCABCABC，，PEPABCABCABCPABCPABCP(ABC)PAPBPCPAPBPCPAPBP(C)111111111311.2222222228（）（）2.分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A，B，C．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响.根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是=［1-P(A)］［1-P(B)］［1-P(C)］=(1-0.7)(1-0.7)(1-0.7)=0.027，P(ABC)P(A)P(B)P(C)∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1-P(··)=1-0.027=0.973.答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．BCA针对训练2．(2014·江苏盐城二模)如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．解析：理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件ACB且A，C，B之间彼此独立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝12.所以P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝18.答案：18【技法点拨】解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式必须在满足“独立重复试验”时才能运用,否则不能应用该公式.(2)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点：一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一；二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次.nkkknPXkCp1p(k012n)，，，，二项分布问题【典例训练】1.某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续取出5件，其中次品数ξ的分布列为______.2.袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数的分布列.【解析】1.本题中商品数量较大，故从中任意抽取5件(不放回)可以看作是独立重复试验n=5，因而次品数ξ服从二项分布，即ξ～B(5，0.1).ξ的分布列如下：ξ012345p0.950.5×0.940.1×0.930.01×0.924.5×0.140.15答案：ξ012345p0.950.5×0.940.1×0.930.01×0.924.5×0.140.152.取到黑球数X的可能取值为0，1，2，3.又由于每次取到黑球的概率均为那么故X的分布列为：00331464PX0C(),55125（）15，1231448PX1C()(),551252231412PX2C(),55125（）33031411PX3C.5525（）（）X0123p6412548125121251125【典例训练】某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10kW，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12min，且开动与否是相互独立的.(1)现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50kW的电力，这10台机床能够正常工作的概率为多大?(2)在一个工作班的8h内，不能正常工作的时间大约是多少?二项分布的实际应用解：每台机床正常工作的概率为，而且每台机床分“工作”和“不工作”两种情况，所以工作机床台数，P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3，…，10)，(1)50kW电力同时供给5台机床开动，因而10台机床同时开动的台数不超过5台时都可以正常工作.这一事件的概率为P(ξ≤5).P(ξ≤5)=121605＝1B(10,)5～kk10k1014C()()550101922810101041414C()C()C()()55555337446555101010141414C()()C()()C()()0.994.555555针对训练3．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人员参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列．解：(1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是P(AB)＝P(A)·P(B)＝(1－0.6)(1－0.75)＝0.1.∴该人参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布X～B(3,0.9)，P(X＝k)＝Ck30.9k×0.13－k，k＝0,1,2,3，∴X的分布列是X0123P0.0010.0270.2430.729考点总结条件概率的计算条件概率的性质和应用事件独立性的判断相互独立事件同时发生的概率相互独立事件概率的实际应用（系统可靠性问题）服从二项分布的随机变量的概率计算服从二项分布的随机变量的分布