数值分析-插值多项式实验报告

1数值分析实验报告班级姓名学号课程名称数值分析时间地点一、实验名称：实验一、插值多项式实验二、实验目的：1．理解插值的基本原理；2．掌握多项式插值的概念、存在唯一性；3．编写MATLAB程序实现Lagrange插值和Newton插值，验证Runge现象、分析插值多项式的收敛性。三、实验内容及要求：1．已知数据如下：ix00.20.40.60.81.0()ifx0+学号0.04+学号0.16+学号0.36+学号0.64+学号1+学号注学号取后面两位数，如122320101，学号=1。（1）用MATLAB等语言编写按Lagrange插值法和Newton插值法计算插值的程序，对以上数据进行插值；（2）利用MATLAB在第一个图中画出离散数据及插值函数曲线。2．给定函数21(),[1,1]125fxxx=?+，利用上题编好的Langrage插值程序（或Newton插值程序），分别取3个，5个、9个、11个等距节点作多项式插值，分别画出插值函数及原函数()fx的图形，以验证Runge现象、分析插值多项式的收敛性。四、插值法的实验步骤：步骤1：按照要求用MATLAB编写lagrange插值代码步骤2：按照要求用MATLAB编写newton插值代码步骤3：按照题目所给要求用MATLAB编写画图代码2.画图代码五、插值法的实验结果：1.（1）Lagrange法实验结果(图或多项式表达式)L=-625/8*x^5+625/4*x^4-875/8*x^3+129/4*x^2-3*x+22（2）Newton法实验结果(图或多项式表达式)（3）L=2+253/30*x-7/2*x^2+1825/24*x^3-175/2*x^4+625/8*x^52.（1）2个节点结果如下：（2）5个节点结果如下：（3）9个节点结果如下：3（4）11个节点结果如下：六、讨论Lagrange插值法和Newton插值法解决实际问题中关于只提供复杂的离散数据的函数求值问题，通过将所考察的函数简单化，构造关于离散数据实际函数f（x）的近似函数P（x），从而可以计算未知点出的函数值，是插值法的基本思路。Lagrange插值型式的缺点在于没有承袭性质，当需要增加插值节点时，我们不得不重新计算基函数，这在实际使用时不能不认为是一种浪费，具有承袭性质的插值型式，应该是当增加插值节点时，新的插值多项式只是在原插值多项式的基础上增加一项。具有承袭性质的插值型式则为Newton插值型式。七、程序附录1.（1）Lagrange插值代码symsxx0=[0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0];y0=[2,2.04,2.16,2.36,2.64,3];fori=1:6a=1;forj=1:6ifj~=i;a=expand(a*(x-x0(j)));endend4b=1;fork=1:6ifk~=i;b=b*(x0(i)-x0(k));endendA(i)=expand(a/b);endL=0;forp=1:5L=L+y0(p)*A(p);endL（2）画图代码x0=[0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0];y0=[2,2.04,2.16,2.36,2.64,3];subplot(1,2,1);plot(x0(1),y0(1),'+r',x0(2),y0(2),'+r',x0(3),y0(3),'+r',x0(4),y0(4),'+r',x0(5),y0(5),'+r',x0(6),y0(6),'+r')x=0:0.2:1;y=x.^2+2;holdonsubplot(1,2,2);plot(x,y)（3）Newton插值代码clearallclcsymsxx0=[0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0];y0=[2,2.04,2.16,2.36,2.64,3];fork=1:6fori=1:ka=1;b=0;forj=1:kifj~=ia=a*(x0(i)-x0(j));endendb=b+y0(i)/a;endA(k)=b;endB=[1,(x-x0(1)),(x-x0(1))*(x-x0(2)),(x-x0(1))*(x-x0(2))*(x-x0(3)),(x-x0(1))*(x-x0(2))*(x-x0(3))*(x-x0(4)),(x-x0(1))*(x-x0(2))*(x-x0(3))*(x-x0(4))*(x-x0(5))];5L1=A.*B;l=0;form=1:6l=l+L1(m);endL=expand(l)2.（1）取三个节点clearclcx0=0:0.5:1;y0=1./(1+25.*x0.^2);symsxfori=1:3a=1;forj=1:3ifj~=ia=expand(a*(x-x0(j)));endendb=1;fork=1:3ifk~=ib=b*(x0(i)-x0(k));endendA(i)=expand(a/b);endL=0;forp=1:3L=L+y0(p)*A(p);endLL=575/377*x^2-1875/754*x+1x1=0:0.0001:1;y1=1./(1+25.*x1.^2);y2=575/377.*x1.^2-1875/754.*x1+1;plot(x1,y1,'+r')holdon6plot(x1,y2,'*k')（2）取五个节点clearclcx0=0:0.25:1;y0=1./(1+25.*x0.^2);symsxfori=1:5a=1;forj=1:5ifj~=ia=expand(a*(x-x0(j)));endendb=1;fork=1:5ifk~=ib=b*(x0(i)-x0(k));endendA(i)=expand(a/b);endL=0;forp=1:5L=L+y0(p)*A(p);endLL=1570000/3725137*x^4-9375000/3725137*x^3+16996575/3725137*x^2-25546875/7450274*x+1x1=0:0.0001:1;y1=1./(1+25.*x1.^2);y2=1570000/3725137.*x1.^4-9375000/3725137.*x1.^3+16996575/3725137.*x1.^2-25546875/7450274.*x1+1plot(x1,y1,'+r')holdonplot(x1,y2,'*k')（3）取九个节点clearclcx0=0:0.125:1;y0=1./(1+25.*x0.^2);symsxfori=1:9a=1;forj=1:9ifj~=ia=expand(a*(x-x0(j)));7endendb=1;fork=1:9ifk~=ib=b*(x0(i)-x0(k));endendA(i)=expand(a/b);endL=0;forp=1:9L=L+y0(p)*A(p);endLL=-745631513600000000/6545742033698309*x^8+3419841600000000000/6545742033698309*x^7-6621592639456000000/6545742033698309*x^6+7019299350000000000/6545742033698309*x^5-4393156359065510000/6545742033698309*x^4+1603771386328125000/6545742033698309*x^3-22515465371294825/503518617976793*x^2+7750485791015625/13091484067396618*x+1x1=0:0.0001:1;y1=1./(1+25.*x1.^2);y2=-745631513600000000/6545742033698309.*x1.^8+3419841600000000000/6545742033698309.*x1.^7-6621592639456000000/6545742033698309.*x1.^6+7019299350000000000/6545742033698309.*x1.^5-4393156359065510000/6545742033698309.*x1.^4+1603771386328125000/6545742033698309.*x1.^3-22515465371294825/503518617976793.*x1.^2+7750485791015625/13091484067396618.*x1+1;plot(x1,y1,'--r')holdonplot(x1,y2,'k')（4）取十一个节点clearclcx0=0:0.1:1;y0=1./(1+25.*x0.^2);symsxfori=1:11a=1;forj=1:11ifj~=ia=expand(a*(x-x0(j)));endendb=1;fork=1:118ifk~=ib=b*(x0(i)-x0(k));endendA(i)=expand(a/b);endL=0;forp=1:11L=L+y0(p)*A(p);endL八、成绩评定教师签字：年月日