数学分析期末试卷A答案

通化师范学院考试试题参考答案及评分标准试卷代号（数学—001—A）考试科目：数学分析I考试专业：数学与应用数学、信息与计算科学考试年级：大一考试学期：秋季学期本参考答案共（3）页………………………………………………………………………………………………………一、填空题（每小题2分，共10分）1.0,1；2．1；3．dxxxxx)2cos22sin2(2；4．tabcot；5．]23,(或)23,(.二、单项选择题（每小题2分，共10分）1.C;2.A;3.D;4.B;5.D三、判断题（每小题2分，共10分，在对的后面划∨，在错的后面划×）1.∨；2.∨；3.×；4.×；5.∨四、计算题（每小题5分，共20分）1.求极限)122(limnnnn.解:)112(lim)122(limnnnnnnnnn.011lim121limnnnnnn（5分）2.求极限2132lim31xxxx.解:2132lim31xxxx2311332332lim13131xxxexx.（5分）3.设,)2(sinxxy其中0x,求y.解:)sin2ln(cos)2(2lnsinsin2lnsin2lnsinxxxxxxxeeyxxxxx.（5分）4.设xxxfsin)(3,求)()2009(xf.解:令3)(,sin)(xxvxxu.由于)2sin()()(nxxun,)4(0)(,6)(,6)(,3)()('''''2'nxvxvxxvxxvn.（1分）应用莱布尼茨公式)2009(n得)22008sin(3)22009sin()(1200923)2009(xCxxxxf)22006sin(6)22007sin(63200922009xCxxCxxxxxxxsin200720082009cos200820093sin20093cos23（4分）五、证明题（每小题10分,共50分）1.用“N”定义证明11limnnn.证明:对任给0,要使1111nnn，只须11n.令11N,（5分）则当Nn时有11nn.因此11limnnn.（5分）2.用“”定义证明424lim22xxx.证明:由于当2x时,2424242xxxx,（2分）故对任意给定的0,只要取,（4分）则当20x时有4242xx.这就证明了.424lim22xxx(4分)3.根据柯西准则叙述lim()xfx不存在的充要条件,并应用它证明limcosxx不存在.证明:(1)设函数()fx在()U内有定义,则lim()xfx不存在的充要条件是:存在某个00,对于任何正数0M,总存在,()xxU,有,xxM,但是0)()(xfxf.（4分）(2)取012,对任意正数0M,取1][Mn及2xn,22xn,则,xxM,但0|()()||coscos||cos2cos(2)|12fxfxxxnn.所以,limcosxx不存在.（6分）4.证明:)0()(abaxxf在),(上一致连续.证明:任给0,由于,)()(''''''xxaxfxf故可选取a,（5分）则对任何),(,'''xx,只要'''xx,就有)()('''xfxf.这就证得baxxf)(在),(上一致连续.（5分）5.设)(xf为],[ba上二阶可导函数,0)()(bfaf,并存在一点),(bac使得0)(cf.证明至少存在一点),(ba,使得0)(f.证明:因为)(xf在],[ba上二阶可导)(xf在],[],,[bcca上均二阶可导,由拉格朗日中值定理推得存在,,11ca使,0)()()(1acafcff存在,,22bc使.0)()()(2cbcfbff（6分）而)(xf在),(],[21ba可导,同样推得.0)()()(1212fff（4分）