复变函数与积分变换第二章

Ch2解析函数1.复变函数的定义2.映射的概念3.反函数或逆映射§2.1复变函数复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。,,,fzEwuiv使得就有一个或几个与之对应1.复变函数的定义—与实变函数定义相类似定义().wfz记作,Ezxiy设是一个复数的非空集合存在法则wz则称复变数是复变数的函数（简称复变函数）区域的定义域，常常是平面—)(zfE值域—},)({EzzfwwG(,);(,)zxiyxywuivuv),(),(yxvvyxuu故),(),()(yxvvyxuuivuzfw分类：()zwfz个称单数若一值，是值函;。论的函数均为单值函数今后无特别声明，所讨()zwfz个称数多值，是多值函.()()wfzfxiy复变函数w=f(z)与实函数的关系：(,)(,)uxyivxyxyiyxiyxivuwivuwiyxzzw2)()(2222则令例1xyvyxuzw2222例222221111)(yxiyyxxzf若已知.)(的函数表示成将zzf1()fzzz（拼凑法）11,(),()22zxiyxzzyzzi（共轭法）设则oxy(z)ouv(w)EGw=f(z)在几何上，w=f(z)可以看作：).(()()(变换平面）的映射平面wGwzEzzfw的原象。称为的象，而为称wzzw定义域值域2.映射的概念——复变函数的几何意义zw=f(z)w以下不再区分函数与映射（变换）。在复变函数中,用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量x，y与u，v之间的对应关系。以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.•复变函数的几何意义是一个映射（变换）.所构成的映射研究zw例3iirezreirz)sin(cos设解—关于实轴对称的一个映射见图1-1~1-2.2所构成的映射研究zw例4222,2wzuxyvxy2||||,arg()2arg()wzwz乘法的模与辐角定理oxy(z)x、uy、v(z)、(w)o图1-1图1-2uv(w)o.2所构成的映射研究zw例4oxy(z)ouv(w)2oxy(z)ouv(w)63422yx2zw2zw2zw2zw229xy（1）22(1)1xy（2）zw1例5、求下列曲线在映射下的象22221,xywuvzxyxy消x,y建立u,v所满足的象曲线方程或由两个实二元函数反解解得x=x(u,v),y=y(u,v）后，代入原象曲线方程即得象曲线方程.2222119uvxy22111uivwzxiyzwuivuv（2）2222uxuvvyuv2222221()(1)12uvvuvuv代入原象曲线方程，得w平面内的一条直线。3.反函数或逆映射例设z=w2则称为z=w2的反函数或逆映射zw)1,0(22kezzwk∴为多值函数,2支.定义设w=f(z)的定义域为E,值域为GEzGwzfw)(Gw()()zwzE若一个或几个则称z=(w)为w=f(z)的反函数或逆映射,1[()]zffzzE当反函数单值时，，)])([(1zffz一般1()zfw记作。是一一对应的。映射都是单值的，则称函数逆映射和其反函数映射当函数)()()()()()(zfwwzzfw1.已知映射w=z3，求区域0argz在平面w上的象。31.函数的极限2.运算性质3.函数的连续性2复变函数的极限与连续性1.函数的极限00()lim()zzAfzzzfzA则称为当时的极限，记作定义uv(w)oAxy(z)o0z)(zfw几何意义:当变点z一旦进入z0的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中0(),(,),0,wfzzUzA设若存在数，00),0,(),zzfzA（（）当时有0()zzfzA或当时，(1)定义中,的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高.0zz(2)A是复数.2.运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：000()(,)(,)fzuxyivxyzxiyzxiy设，，定理2.1(3)若f(z)在处有极限,其极限是唯一的.0z0),(),(0),(),(00),(lim),(lim)(lim00000vyxvuyxuivuAzfyxyxyxyxzz则BAzgzgzfzgzfABzgzfzgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim)(lim000000000000则若定理2.2以上定理用极限定义证!例1.)(22在平面上处处有极限证明yxiyxw例2.0)(时的极限在求zzzzzzf在平面上处处有极限22,yxyx.)0,0()(2)(2222处极限不存在在yxyxzf证(一),iyxz令,)(22yxxzf则,0),(,),(22yxvyxxyxu,趋于零时沿直线当kxyz2200lim),(limyxxyxukxyxkxyx220)(limkxxxx例3.0Re)(时的极限不存在在证明zzzzf)1(lim220kxxx,112k,值的变化而变化随k,),(lim00不存在所以yxuyyxx,0),(lim00yxvyyxx根据定理2.1可知,.)(lim0不存在zfz证(二)),sin(cosirz令rrzfcos)(则,cos,arg趋于零时沿不同的射线当zz.)(趋于不同的值zf,0arg趋于零时沿正实轴例如zz,1)(zf,2πarg趋于零时沿z,0)(zf.)(lim0不存在故zfz000,lim()()()zzzzCfzfzfz若、且，则称000lim()()();zzfzfzfzz若，则称在处连续3.函数的连续性定义2.3000000(,)(,)00(,)(,)lim(,)(,).lim(,)(,)xyxyxyxyuxyuxyvxyvxy定理2.5();DfzD若在区域内每一点连续，则称在内连续0.Cz在曲线上点处连续000()(,)(,)fzuxyivxyzxiy设在处连续，例如,),()ln()(2222yxiyxzf,)ln(),(22处连续在复平面内除原点外处yxyxu,),(22在复平面内处处连续yxyxv.),(处连续在复平面内除原点外处故yxf定理2.3,2.4连续函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数。01()nnPzaazaz由以上讨论在整个复平面内是连续的；C设曲线为闭曲线或端点包括在内的曲线段，有界性：有界闭区域上连续函数的最大（小）模原理()()0.()PzRzQz在复平面内除分母为点外处处连续()0,()fzCMfzM若在上连续在曲线上恒有作业•P41•1;2(1)(3);3;4;51.复变函数的导数定义2.解析函数的概念§2.2解析函数的概念一.复变函数的导数(1)导数定义定义2.4设函数w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果极限存在，则称函数f(z)在点z0处可导,称此极限值为f(z)在z0的导数，记作zzfzzfz)()(lim000zzfzzfdzdwzfzzz)()(lim)('00000如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导。例1.)(2的导数求zzfzzfzzfzfz)()(lim)(0解zzzzz220)(lim)2(lim0zzz.2zzz2)(2(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z).Re)(:可导在平面上的任何点都不证明zzf例2zzzzzf)Re()Re(:证明yixxxxyixx.lim0不存在zfz0,z当取实数趋于时1;fz0,z当取纯虚数趋于时0;fz(2)求导公式与法则①常数的导数c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然数).----实函数中求导法则的推广③设函数f(z),g(z)均可导，则[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z))0)((,)()(')()()('')()(2zgzgzgzfzgzfzgzf.0)()()()(10处可导点外）处在复平面上（除分母为导；在整个复平面上处处可由以上讨论zQzPzRzazaazPnn④复合函数的导数(f[g(z)])=f(w)g(z)，其中w=g(z)。⑤反函数的导数，其中:w=f(z)与z=h(w)互为单值的反函数，且h(w)0。)('1)('whzf例4问：函数f(z)=x+2yi是否可导？!0,020,012lim0不存在时当时当yxxyyixyixz)('11)5()(22zfzzzzf，求已知例3解22)1(1)52)(5(2)(zzzzzfyixyixiyyxxzzfzzfzz)2()(2lim)()(lim00解.2)(处处不可导故函数yixzf(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的缘故。(2)在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举。?)(,;),()(,22的可导性复函数中内可导在实函数中zzhxxf思考题2()0,.hzzz仅在处可导而在其他点都不可导zzzzzzz0000))((,00zzzzz,0)1(0z.0)()(lim000zzhzzhz,0)2(0z,)(0000zxxkyyzz趋于沿直线令zzyixyixxyixyi11ikik11zzhzzh)()(00zzzz2020,的任意性由于k.11不趋于一个确定的值kikizz.)()(lim000不存在zzhzzhz.,0)(2不可导而在其他点都处可导仅在因此zzzh?(3)可导与连续若w=f(z)在点z0处可导w=f(z)点z0处连续.反过来不成立，例如：函数f(z)=x+2yi在整个平面上处处连续但处处不可导。证明过程类似于一元函数。(4)微分的概念复变函数微分的概念在