复变函数与积分变换第四章

1.复数列的极限2.级数的概念第四章解析函数的级数表示法§4.1复数项级数1.复数列的极限定义4.1,),,2,1}({nnnniban＝其中设复数列：，iba又设复常数：0,0,,nNnN若当恒有，lim,,nnnn记作或当时，{}nn那么称为复数列当时的极限，{}.n此时，也称复数列收敛于.lim,lim)()()()(22bbaabbaabbaabbiaannnnnnnnnnnnn　　故又定理4.1.lim,limlimbbaannnnnn证明lim0,0,,nnnNnN“”已知即，当恒有lim,lim0,0,,22()()lim.nnnnnnnnnnnnnaabbNnNaabbaaibbaabb“”已知　　即，当恒有，又　　　　故课堂练习:下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.;11)1(ninizn;1)1()2(niznn.1)3(2innenz收敛,极限为-1发散收敛，极限为02.复级数的概念nnn211niinns121级数的前面n项的和---级数的部分和称为级数的和ssnnlim称为收敛－级数1nn称为发散－级数1nn---无穷级数定义4.2),,,2,1}({}{nibannn设复数列：不收敛收敛若部分和数列}{ns例1解的敛散性。判别123nniisiisnnnnjjn3lim),211(3231又.3,i且和为级数收敛定理4.2都收敛。和收敛级数111nnnnnnba都收敛。和由定理１，111111lim,limlim)(nnnnnnnnnnnnnkknkkknkknkknbabaibasibiaibas证明)1(11是否收敛？级数nnin解;111发散因为nnnna.1121收敛nnnnb所以原级数发散.例1由定理4.2，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题。11nnnnba收敛的必要条件是和因为实数项级数.0lim0limnnnnba和必要条件重要结论:.0lim1发散级数nnnn.0lim:nn收敛的必要条件级数1nn定理4.3:,1nine级数例如,0limliminnnne因为所以原级数发散.启示:判别级数的敛散性时,可先考察0limnn?,0limnn如果级数发散;应进一步判断.,0limnn定理4.4.1111nnnnnnnn收敛，且收敛若定义4.311111.nnnnnnnnnn若收敛，则称为绝对收敛；若发散，而收敛，则称为条件收敛证明222222,nnnnnnnnnnnbabbaabaiba1112nnnnnnab由比较判定法和均绝对收敛，由定理4.得收敛。11,nnkkkk11nnnn由定理4.4的证明过程，及不等式:22有nnnnbaba推论4.1都收敛。和收敛级数111nnnnnnba另外,因为的各项都是非负的实数,所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定.1||nn收敛.收敛若11nnnn?))1(:(1nnni例如解.)1(111)1(1121发散收敛，发散，nnnninnn绝对收敛。收敛，000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2)1((21)1()3(111收敛收敛，收敛，nnnnnnninn例2否绝对收敛？下列级数是否收敛？是011)2)1(()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原级数非绝对收敛收敛，条件又nnn练习：的敛散性。讨论011nnien发散作业•P1002(1)(2)1.幂级数的概念2.收敛定理3.收敛圆与收敛半径4.收敛半径的求法5.幂级数的运算和性质§4.2幂级数1.幂级数的概念定义设复变函数列：)1()()()()(211zfzfzfzfnnn,2,1,)}({nDzzfn---称为复变函数项级数级数的最前面n项的和nkknnzfzfzfzfzs121)()()()()(---级数的部分和0nnz1()nnfz例如若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数＋)()()()(21zfzfzfzsn---级数(1)的和函数00lim()(1),nnszz若不存在，称级数在发散0(),sz其和为　0000lim()(),(1),nnzDszszz若称级数在收敛特殊情况，在级数(1)中得nnnzzczf)()(000()(2),nnnczz)3(000nnnzcz当称为幂级数并不失一般性。研究级数中令在)3()2()2(00kknczz2.收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理4.5(阿贝尔(Able)定理）101(0),,.nnnczzzzzz⑴若级数在收敛则对满足　　的级数必绝对收敛11,,.zzzzz⑵若级数在发散则对满足的　级数必发散　z1xyO20112111max,,,,,,0,1,2,NNnnMcczczczczMn取故证明110(1),lim0nnnnnnczcz收敛则，即100nnNnNcz，，当，恒有11,1zzzqz若则11,nnnnnnzczczMqz,0收敛由于nnMq,0收敛由比较判别法得nnnzc绝对收敛。0nnnzc(2)用反证法，3.收敛圆与收敛半径10,nnnzzzcz设当，有收敛，由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，则级数(3)在复平面上处处收敛。10(1)nnncz由知收敛与假设矛盾，得证！(ii)除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。.)3(:)3(:发散数外，级在圆周收敛；内，级数定理，在圆周由zczcAble.,0,,0)(00发散使得　收敛使得nnnnnncciii播放幻灯片37显然，否则，级数(3)将在处发散。RRc,RczR：为红蓝两线一定、色的分界。(ii)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。(i)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域.定义这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的收敛圆周；圆周的内部成为收敛圆，这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。例如,级数:1121nnnnnnzznzn1,1zR收敛圆周均为收敛圆周上无收敛点;1,;z在点发散在圆周上其余点收敛在收敛圆周上处处收敛.定理4.7(根值法)000/1limRcnnn，则若定理4.6(比值法)000/1lim1Rccnnn，则若4.收敛半径的求法的收敛半径求法，有关于幂级数)3(0nnnzc例求下列幂级数的收敛半径:(1)13nnnz(2)1!;nnnz解(1)nnncc1lim3)1(limnnn因为,1所以收敛半径1R(2)1(1)!limlim!nnnncncn,0.R故例4.2的收敛范围及和函数。求幂级数nnnzzzz201121nnzzzs又zzn11解11lim1Rccnnn.11lim,0lim1zszznnnn时，当.,0lim1级数发散时，当nnzz综上.1;111,0时当发散　　　　　　　　时当且和函数为收敛zzzznn练习求下列幂级数的收敛半径1)31nnzn(并讨论在收敛圆周上的情形);2)1(1)nnzn(并讨论z=0,2时的情形);3)0(cos)nninz[答案]（1）收敛半径R=1,在圆周|z|=1上,级数收敛2)R=1.在收敛圆|z1|=1上,当z=0时,原级数收敛;当z=2时,原级数发散.3)1Re5.幂级数的运算和性质代数运算1200()()nnnnnnazfzRrbzgzRr设，Rzzgzfzbazbzannnnnnnnnn)()()(000),min(21rrR其中：Rzzgzfzbabababazbzannnnnnnnnnnn),()()()()(002211000---幂级数的加、减运算---幂级数的乘法运算分析运算定理4.8Rzzfzcnnn)(0设.)()(内解析在RzzfiRzznczczczfiinnnnnnnnn1100)'()'()(')(00()()nnnnnnCCCiiifzdzczdzczdz---幂级数的逐项求导运算---幂级数的逐项积分运算0101)(nnnznzcdf或CzR例4.4求级数11(21)nnnz的收敛半径与和函数.解1212limlim11nnnnnncc因为.21R所以,21时当zzzznnn11212)12(11故,2,12z,1111zznn11111222nnnnnnzzz212.)1)(21(1zz例4.4求级数0)1(nnzn的收敛半径与和函数.解12limlim1nnccnnnn因为.1R所以利用逐项积分,得:0000d)1(d)1(nznznnzznzzn01nnz所以)1()1(0zzznnn,1.1zz.)1(12z1z作业P1019(1)(2),10(1)1.泰勒展开定理2.展开式的唯一性3.简单初等函数的泰勒展开式§4.3解析函数的泰勒(Taylor)展开1.泰勒(Taylor)展开定理现在研究与此相反的问题：任何一个解析函数能否用幂级数表达?由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。定理4.9（泰勒展开定理）,2,1,0)(!1:)1()()(,,,)(0)(00000nzfnczzczfRzzDzRDzDzfnnnnn其中时当上各点的最短距离的边界到为内解析在区域设0()fzzTaylor在处的级数DK0z()010011()()!2:nnnKfcfzdnizKzr回忆：证明00:,{},,:Kzr