复变函数与积分变换第三章

第三章复变函数的积分1.有向曲线2.积分的定义3.积分性质4.积分存在的条件及其计算法§3.1复变函数积分的概念1.有向曲线:()()()()(1)Cztxtiytt的表示0)(')('tztz连续且光滑或分段光滑曲线约定C:).(因而可求长:的方向规定C:A,B,AB,BA,;C开曲线指定起点终点若为正则为负记作A(起点)B(终点)C:围线CC,C正方向观察者顺此方向沿前进一周逐段光滑的简单闭曲线简称为围线.C的内部一直在观察者的左边。2.积分的定义BzzzAnABn,,,:)3(10小弧段个任意分划成将⌒14()()kkkkkzzfz，作乘积1(5)()nnkkkSfz作和式Dzzfw)()1(设定义.)2(的一条光滑有向曲线点内点为区域BADCDABxyo11z1kzkkz1nzkz111,,max{}kkkkkkkknzzzSzzS记为的长度0()1lim()(2)nkknkfzI若如何取无论如何分割iC,CdzzfBACzf)(,)()(记作的积分从沿曲线为则称)3()(lim)(.,.1nkkknCzfdzzfei(1)C()Cfzdz为闭线，记若曲作baCdttudzzftuzfbatC)()(),()(],,[:)2(则取极限求和取乘积分割2212(),,CCCabbadzbazdz特例：若表示连接点的任一曲线则0,0,)2(CCzdzdzC则表示闭曲线若关。和的形状还不仅因为一般不能写成存在如果方向有与曲线有关,与.,CbadzzfdzzfdzzfCbaC,)()()()3(12124)()()()nnCCCCCCCCfzdzfzdz分段光滑曲线（对路径的可加性）.)()()()(,)5估值定理上满足在函数的长度为设MLdszfdzzfMzfCzfLCCC3.积分性质1)()()()CCfzdzfzdz方向性2)()()CCkfzdzkfzdz=蝌3)[()()]()()CCCfzgzdzfzdzgzdz（线性性）由积分定义得：证明2=+＃,(01)Cztit的参数方程为而C之长为2,根据估值不等式知21dCzz21dCsz2211zz例21d2,2CzzCii试证积分路径为连接到点的直线段.21,Cz因为在上连续且1212ti2141tdCs22xyo2i2i4.积分存在的条件及其计算法()(,)(,),(),().CfzuxyivxyCfzCfzdz若在光滑曲线上连续则沿可积即存在定理3.1)4()(CCCudyvdxivdyudxdzzf且Cidydxivu))((记忆kkkkkkkkkkkkkkkkkkvvuuiyyyxxxiyxz),(),(11令1111(,)(,)[(,)(,)]nnkkkkkkkknnkkkkkkkkuxvyivxuynkkkkknkkknyixivuzfS11))(()(证明0.当时，均是实函数的曲线积分(,)(,)(,)(,)!CCCCuxydxvxydyvxydxuxydy、、、存在故都(),(,),(,)fzCuxyvxyC连续连续在上在上1(),()cfzCfzdz结论：当是连续函数是光滑曲线时，一定存在。2()cfzdz结论：可以通过两个二元实函数的线积分来计算。1limlim()((,)(,))((,)(,))nnkknnkCCCCSfzuxydxvxydyivxydxuxydy()Cfzdz(){((),())'()((),())'()}{((),())'()(()())'()}Cfzdzuxtytxtvxtytytdtivxtytxtuxtytytdtdttztzf)(')]([dttiytxtytxvitytxu))(')(')]]}((),([[)](),([{:)()()(:ttiytxtzzC设光滑曲线由曲线积分的计算法得()[()]'()Cfzdzfztztdt（3.6）用（3.6）式计算复变函数的积分,是从积分路径的参数方程着手,称为参数方程法.例3.1解.43:,d的直线段从原点到点计算iCzzC直线方程为,10,4,3ttytx,)43(,tizC上在,d)43(dtizd)43(d102ttizzCd)43(102tti.2)43(2i)dd)((dCCyixiyxzz另解：因为AoxydddddCCCyxxyiyyxxzz这两个积分都与路线C无关,43曲线的是怎样从原点连接到点所以不论iC.2)43(d2izzCAoxy.Czdzò练习：计算:Ciiab=?-的直线段；解():11zittab=?线段的参数方程为,dzidtzitt===?10111011[()22Czdztidtitdttdtii--==--+=-+=-蝌蝌(1)积分路径的参数方程为xyoi11i2xy),10()(2titttz,d)21(d,Rettiztz于是CzzdRe10d)21(titt1032322tit;3221i.11(2);1(1):,dRe2的折线再到轴到点从原点沿的弧段上从原点到点抛物线为其中计算ixixyCzzC例3.1解xyoi11i2xy(2)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为),10()(tttz1到1+i直线段的参数方程为),10(1)(tittz,dd,Retztz于是,dd,1Retizz于是CzzdRe10dtt10d1ti.21i积分路径不同,积分结果也可能不同.例3.2解,12zdzzz计算积分其中为圆环及实轴积分路径的参数方程为:21,Izttzdzz12dtxyo2C1C1212III2:2(0π),iCze1:(π0),iCze从到:12,IIzttIzdzz2CzdzzIIzdzzπ0diiieiee21dtπ022d2iiieiee.所围区域位于上半平面部分的边界dzzzC1112dtπ0diiieiee21dtπ022d2iiieieeπ30diie1π302diie2π30diie20{cos3id0sin3}id2234.3小结求积分的方法knkknczfdzzf1)(lim)()1(udyvdxivdyudxdzzfc)()2(dttztzfdzzfc)()]([)()3(40()(),,,()cfzDCDfzdz若解析单连通则11005'()(),,()(),()()zzzzfzDDfzdzFzFzfz若在内解析单连通则例3.3解.,,,d)(1010为整数径的正向圆周为半为中心为以求nrzCzzzCnzxyor0z积分路径的参数方程为),π20(0irezzCnzzzd)(110π20)1(1dninierire,dπ20innerizxyor0z,0时当nCnzzzd)(110π20di;2i,0时当nCnzzzd)(110π20d)sin(cosninrin;0rzznzzz0d)(110所以.0,0,0,2nni重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,dπ20inneriCnzzzd)(110例如1zdzz2,i1zdzz1zdz2例如1zdzz练习1zdzz20iied0,20ied01zzdz2,i作业•P69•2;4;21(),fzzC例3.中在全平面解析它沿连接起点及终点的任意的积分值相同，§3.2Cauchy-Goursat定理()Im,Im.CfzzzdzC在复平面上处处不解析的值与积分路径有关0013320.zzrdzizz例中()()()BCCAfzdzfzdzfzdz即与路径无关，也即＝0,zz为奇点即不解析的点，0zz但在除去的非单连通区域内处处解析。复函积分与路径无关被积函数的解析性解析区域的单连通性??)(',)(内连续在且内处处解析在单连通设DzfDivuzf()cCCCDfzdzudxvdyivdxudy又对于闭曲线，DyxcDyxcdxdyvuudyvdxdxdyuvvdyudxGreen0)(0)(公式由cdzzf0)(yxyxyxyxuvvuRCDvvuuvu方程并满足都是连续的内在以及它们的偏导数和,,,,yyxxiuvivuzf)('1900,'().GoursatCauchyfz年给出了定理的新证明且将连续这一条件去掉了1825()()0cCauchyDfzDCfzdz年给出了单连通区域内处处解析的沿内任一条闭曲线的积分'(),.fzD当时解析的定义为存在且在内连续1851.RiemannCauchy年给出了定理的上述简单证明—Cauchy定理,:'()CauchyGoursatfzD-这就产生了著名的定理从此解析函数的定义修改为在内存在(),()0.CfzzDCDfzdz设在平面上单连通区域内解析为内任一条闭曲线Cauchy-Goursat定理（定理3.2）：1()D,(),.CfzDCD为边若的界在上解析定理仍成立DCDC(2)定理中曲线C不必是简单的！如下图。DDC推论3.2设f(z)在单连通区域D内解析，则对任意两点z0,z1∈D,积分cf(z)dz不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线C，即积分与路径无关。C1120()()()zCCzfzdzfzdzfzdz见上左图z1z0C1C2C1C2z0z1典型例题例1解1.d321zzz计算积分,1321内解析在函数zz根据柯西－古萨定理,有1.0d321zzz思考题应用柯西–古萨定理应注意什么?思考题答案(1)注意定理的条件“单连通域”.(2)注意定理不能反过来用..)(,0d)(内处处解析在而说即不能由CzfzzfC;23211)(:内在圆环域反例zzzf.11)(:2内在反例zzzf(1).原函数与不定积分的概念(2).积分计算公式2原函数与不定积分1.原函数与不定积分的概念由推论3.2知：设f(z)在单连通区域D内解析，则对D中任意曲线C,积分cf(z)dz与路径无关，只与起点和终点有关。当起点固定在z0,终点z在D内变动,cf(z)dz在D内就定义了一个变上限的单值函数，记作01()()()zzFzfd定理3.3设f(z)在单连通区域D内解析，则F(z)在D内解析，且)()('zfzF0()()zzFzfd上面定理表明是f(z)的一个原函数。定义3.2若函数(z)在区域D内的导数等于f(z)，即,称(z)为f(z)在D内的原函数.)()('zfz设H(z)与G(z)是f(z)的任何两个原函数，)(,)()(0)()()(')(')]'()([为任意常数cczHzGzfzfzHzGzHzG