数值分析试题库与答案解析

模拟试卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.2．设152210142A，342x，则A=.，1x=______.3．已知y=f(x)的均差（差商）01214[,,]3fxxx，12315[,,]3fxxx，23491[,,]15fxxx，0238[,,]3fxxx,那么均差423[,,]fxxx=.4．已知n=4时Newton－Cotes求积公式的系数分别是：,152,4516,907)4(2)4(1)4(0CCC则)4(3C＝.5．解初始值问题00(,)()yfxyyxy的改进的Euler方法是阶方法；6．求解线性代数方程组123123123530.13260.7223.51xxxxxxxxx的高斯—塞德尔迭代公式为，若取(0)(1,1,1)x,则(1)x.7．求方程()xfx根的牛顿迭代格式是.8．01(),(),,()nxxx是以整数点01,,,,nxxx为节点的Lagrange插值基函数，则0()nkjkkxx=.9．解方程组Axb的简单迭代格式(1)()kkxBxg收敛的充要条件是.10．设(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5ffff，则()fx的三次牛顿插值多项式为，其误差估计式为.二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式()px满足：(1)15p，(1)20p，(1)30p(2)57p，(2)72p.2．构造代数精度最高的形式为10101()()(1)2xfxdxAfAf的求积公式，并求出其代数精度.3．用Newton法求方程2lnxx在区间),2(内的根,要求8110kkkxxx.4．用最小二乘法求形如2yabx的经验公式拟合以下数据：ix19253038iy19.032.349.073.35．用矩阵的直接三角分解法解方程组7173530103421101002014321xxxx.6试用数值积分法建立求解初值问题0(,)(0)yfxyyy的如下数值求解公式1111(4)3nnnnnhyyfff，其中(,),1,,1iiiffxyinnn.三、证明题（10分）设对任意的x，函数()fx的导数()fx都存在且0()mfxM,对于满足20M的任意，迭代格式1()kkkxxfx均收敛于()0fx的根*x.参考答案一、填空题1．5；2.8,9;3.9115；4.1645；5.二；6.(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7kkkkkkkkkxxxxxxxxx,(0.02，0.22，0.1543)7.1()1()kkkkkxfxxxfx;8.jx;9.()1B;10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66xxxfxxxx二、综合题1．差商表：11122151515575720204272152230781233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432pxxxxxxxxxx其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()pxxxxxaxb令(2)57p，(2)72p，求出a和b.2．取()1,fxx，令公式准确成立，得：0112AA,011123AA,013A,116A.2()fxx时，公式左右14；3()fxx时，公式左15,公式右524∴公式的代数精度2.3．此方程在区间),2(内只有一个根s，而且在区间（2，4）内。设2ln)(xxxf则xxf11)('，2''1)(xxf，Newton法迭代公式为1)ln1(/112ln1kkkkkkkkxxxxxxxx，,2,1,0k取30x，得146193221.34xs。4．2{1,}spanx，2222111119253038TA，19.032.349.073.3Ty.解方程组TTAACAy，其中3330433303416082TAA，解得：1.416650.0504305C所以0.9255577a，0.0501025b.5．解设443433242322434241323121020111113010342110100201uuuuuullllll由矩阵乘法可求出iju和ijl10101211011111434241323121llllll21210102010201443433242322uuuuuu解下三角方程组7173510101211014321yyyy有51y，32y，63y，44y.再解上三角方程组463521210102014321xxxx得原方程组的解为11x，12x，23x，24x.6解初值问题等价于如下形式11()()(,())nxnxyxyxfxyxdx，取1nxx，有1111()()(,())nnxnnxyxyxfxyxdx，利用辛卜森求积公式可得1111(4)3nnnnnhyyfff.三、证明题证明将()0fx写成()()xxfxx，由于()[()]1()xxfxfx，所以|()||1()|1xfx所以迭代格式1()kkkxxfx均收敛于()0fx的根*x.模拟试卷（二）一、填空题（每小题3分，共30分）1．分别用2.718281和2.718282作数e的近似值，则其有效位数分别有位和位；2．设102110382A，131x，则1A=________，2x=.3．对于方程组34101522121xxxx,Jacobi迭代法的迭代矩阵是JG=________.4．设1)(3xxxf，则差商3,2,1,0f=__________，0,1,2,3,4f=_______.5．已知1201A,则条件数()CondA_________.6．为使两点的数值求积公式1011()()()fxdxfxfx具有最高的代数精确度，则其求积基点应为0x=__________，1x=__________7．解初始值问题00(,)()yfxyyxy近似解的梯形公式是1ky8．求方程()0fx根的弦截法迭代公式是9.计算积分10.5xdx，取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是，用辛卜生公式计算的结果是10．任一非奇异矩阵A的条件数()CondA＝，其()CondA一定大于等于二、综合题（每题10分，共60分）1证明方程1sinxx在区间[0,1]有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过41102近似解，问要迭代多少次？2已知常微分方程的初值问题：,11.2,(1)2dyxxdxyy试用改进的Euler方法计算(1.2)y的近似值，取步长0.2h.3用矩阵的TLDL分解法解方程组1233351035916591730xxx.4用最小二乘法求一个形如1yabx的经验公式，使它与下列数据拟合.x1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.1685设方程组0.40.410.40.820.40.83xyzxyzxyz，试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－赛德尔迭代法的收敛性。6按幂法求矩阵411132123A的按模最大特征值的近似值，取初始向量(0)(1,0,0)Tx，迭代两步求得近似值(2)即可.三、证明题（10分）已知求)0(aa的迭代公式为：2,1,00)(2101kxxaxxkkk证明：对一切1,2,,kkxa，且序列kx是单调递减的，从而迭代过程收敛.参考答案一、填空题1．6，7；2.9,11;3.05.25.20;4.1,0;5.9;6.13,13;7.11[(,)(,)]2kkkkkhyfxyfxy;8.111()()()()kkkkkkkfxxxxxfxfx；9.0.4268,0.4309;10.1AA,1二、综合题1解令()1sinfxxx，则(0)10f，(1)sin10f，且()1cos0fxx故1sinxx在区间[0,1]内仅有一个根*x.利用二分法求它的误差不超过41102的近似解，则*41111||1022kkxx解此不等式可得4ln1013.2877ln2k所以迭代14次即可.2、解：1002101(,)0.5,(,)0.571429,kfxykfxyhk1012()20.1(0.50.571429)2.10714292hyykk3解设3112132221331323351135911591711ldlldldll利用矩阵乘法可求得13d，22d，323d，211l，3153l，322l解方程组1231101116530321yyy得123410,6,3yyy，再解方程组111122133531110126413dxdxdx得1231,1,2xxx.4解令1Yy，则Yabx容易得出正规方程组5916.971917.835.3902ab，解得2.0535,3.0265ab.故所求经验公式为12.05353.0265yx.5解（1）由于30.40.4()0.40.80.960.2560.40.8Jf(1)10.980.2560Jf，(2)81.960.2560Jf所以()0Jf在(2,1)内有根i且||1i，故利用雅可比迭代法不收敛.（2）由于20.40.4()0.40.8(0.8320.128)0.40.8Gf所以()0.832G，故利用高斯－赛德尔迭代法收敛.6解因为(0)[1,0,0]Tx，故(0)1x，且(1)(0)4,1,1TyAx，(1)(1)max()4y.从而得(1)(1)(1)11/[1,,]44Txyy，(2)(1)999[,,]244TyAx，(2)(2)9max()2y.三、证明题证明:由于11(),0,1,2,2kkkaxxakx故对一切k，kxa，又1211(1)(11)122kkkxaxx所以1kkxx，即序列{}kx是单调递减有下界，从而迭代过程收敛.模拟试卷（三