空间向量在立体几何中与应用——夹角与计算习题详细答案

..【巩固练习】一、选择题1.设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1），（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是()A.（-1，-2，5）B.（-1，1，-1）C.（1，1，1）D.（1，-1，-1）2.如图，1111—ABCDABCD是正方体，1111114ABBE=DF=，则1BE与1DF所成角的余弦值是（）A．1715B．21C．178D．233.如图，111—ABCABC是直三棱柱，90BCA，点11DF、分别是1111ABAC、的中点，若1BCCACC，则1BD与1AF所成角的余弦值是（）A．1030B．21C．1530D．10154.若向量(12)a，，与(212)b，，的夹角的余弦值为89，则()A．2B．2C．2或255D．2或2555.在三棱锥PABC－中，ABBC，12AB=BC=PA，点OD、分别是ACPC、的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（）A．621B．338C．60210D．302106.（2015秋湛江校级期末）在正四棱锥S—ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC的夹角是（）A．30°B．45°C．60°D．75°7.在三棱锥PABC－中，ABBC，1==2ABBCPA，点OD、分别是ACPC、的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值是（）..A．216B．833C．21060D．21030二、填空题8．若平面的一个法向量为330n，，，直线l的一个方向向量为111=b，，，则l与所成角的余弦值为_．9．正方体1111ABCDABCD中，EF、分别为1ABCC、的中点，则异面直线EF与11AC所成角的大小是______.10.已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为.11.如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，,,45ABAEFAFEAEF，则平面BDF和平面ABD的夹角余弦值是_______.三、解答题12.如图，点P在正方体1111ABCDABCD的对角线1DB上，∠60PDA.（Ⅰ）求DP与1CC所成角的大小；（Ⅱ）求DP与平面11AADD所成角的大小.13.如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线2AC，2BD，AE，CF都与平面ABCD垂直，1AE， 2CF，求平面ABF与平面ADF的夹角大小...14.如图（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，DE，分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，2DE＝，将△ADE沿DE折起到△1ADE的位置，使1ACCD，如图（2）．(1)求证：1AC⊥平面BCDE；(2)若M是1AD的中点，求CM与平面1ABE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面1ADP与平面1ABE垂直？说明理由．15．(2016浙江理)如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3．(Ⅰ)求证：EF⊥平面ACFD；(Ⅱ)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【答案与解析】1.【答案】B【解析】排除法.平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零...排除A，C，D，选项为B.2.【答案】A【解析】设正方体的棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则1131(1,1,0),(1,,1),(0,0,0),(0,,1)44BEDF．所以，131(1,,1)(1,1,0)(0,,1)44BE，111(0,,1)(0,0,0)(0,,1)44DF，1174BE，1174DF，11111500()114416BEDF．所以，111111cos,151516.17171744BEDFBEDFBEDF因此，1BE与1DF所成的角的余弦值是1517．3.【答案】A【解析】如图所示，以C为原点建立的空间直角坐标系，则1111,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1,ABCAB由中点公式可知，11111101222DF，，，，，，11111101222BDAF，，，，，，111-1304cos103524BDAF，.4.【答案】C【解析】由cos=ababab，可得，25510840，即25520，即2=或255=.5.【答案】D【解析】...22214214,0,0,0,,0,,0,000.,0,222244OPABCOAOCABBCOAOBOAOPOBOPOOPzOxyzABaAaBaCaPDaa平面，，，，，以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，设，则，，，，214,0,,4411,1,,7210cos,.30210sincos,,30210.30ODaaPBCnODnODnODnODPBCODnODPBC可求得平面的法向量设与平面所成的角为，则与平面所成角的余弦值为6.【答案】A【解析】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz。设OD=SO=OA=OB=OC=a，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（－a，0，0），(0,,)22aaP，则(2,0,0),(,,),(,,0)22aaCAaAPaCBaa，设平面PAC的一个法向量为n，则0,0nCAnAP，∴20220axayaz，可取(0,1,1)n，∴21cos,2||||22CBnaCBnCBna，∴,60CBn，..∴直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°=30°故选A。7.【答案】D【解析】.222,0,0,0,,0,,0,0.2220,0,.OPABCOAOCABBCOAOBOAOPOBOPOOPzOxyzABaAaBaCaOPhPh平面，，，，，以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，设，则设，则2,7,2214,0,,4411,1,,7210cos,.30210sincos,,30.PAahaODaaPBCnODnODnODnODPBCODn可求得平面的法向量设与平面所成的角为，则8.【答案】33【解析】由22(3,3,0)(1,1,)6cos333111n,b，知l与所成角的余弦值为63193.9.【答案】30【解析】以A为原点建立直角坐标系（如图所示），设B（2，0，0），则E（1，0，0），F（2，2，1），C1（2，2，2），A1（0，0，2），∴(1,2,1)EF，11(2,2,0)AC，∴111111(1,2,1)(2,2,0)3cos,2||||622EFACEFACEFAC，zyxPODCBA..∴11cos,30EFAC.10.【答案】34【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴3AE，AS=3，∴SE=23，AF=32，∴3sin4ABF.11.【答案】31111【解析】因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以AE⊥AB.又因为平面ABEF⊥平面ABCD，AE平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AE⊥平面ABCD.所以AE⊥AD.因此，AD，AB，AE两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1，则B（0，1，0），D(1，0，0)，E(0，0，1)，C(1，1，0).因为FA=FE，∠AEF=45°，所以∠AFE=90°.从而，11(0,,)22F.所以，设平面BDF的一个法向量为1n，并设1n=（x，y，z）...110BD=，，，31022BF=，，，由00.nBDnBF，得0310.22xyyz，取y=1，则x=1，z=3.从而1n113（，，）.由AE⊥平面ABCD可知，平面ABD的一个法向量为001AE=，，，设平面BDF和平面ABD的夹角为，则1003311coscos1111nAE=，.12.【解析】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设DA为单位长，则=，=.连结BD，11BD，在平面BB1D1D内，延长DP，交11BD于点H，设=(m0)，由条件知，=60°.由·=||||cos，，可得2m=.解得m=.所以=.（Ⅰ）因为cos，=，所以，=，即DP与1CC所成的角的大小是45°...（Ⅱ）因为平面的一个法向量是，又cos，=，所以，=.即DP与平面11AADD所成角的大小为60°.注意：由于点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线D1B上且∠PDA=60°，直接设点P的坐标则会出现多个变量，因为所求的两问都是求与DP相关的角度问题，因此根据点P的位置特征只确定DP所在的直线的位置即可，因此出现上面解法.显然尽管求解过程是用向量的坐标方法，但空间想象与思辨论证的要求并没有降低，体现了对学生全面的几何方法的考查.13.【解析】如图，以为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系.设平面ABF的法向量为，则由得令，得.同理，可求得平面ADF的法向量.因为，所以平面ABF与平面ADF垂直.所以平面ABF与平面ADF的夹角2.14.【解析】..15.【解析】(Ⅰ)延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以BF⊥AC．又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK．..所以BF⊥平面ACFD．(Ⅱ)方法一：过点F作FQ⊥AK，连结BQ．因为BF⊥平面ACK，所以BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，所以BQ⊥AK．所以，∠BQF是二面角B-AD-F的平面角．在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，得31313FQ．在Rt△BQF中，313313FQBF，，得3cos4BQF．所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值为34．方法二：如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则△BCK为等边三角形．取BC的中点O，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，所以，KO⊥平面ABC．以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz．由题意得(100)(100)(003)BCK，，，，，，，，，1313(130)002222AEF，，，，，，，，．因此，(030)(133)(230)ACAKAB，，，，，，，，．设平面ACK的法向量为111()mxyz，，，平面ABK的法向量为222()nxyz，，，由00ACmAKm··，得111130330yxyz，取(301)m，，；由00ABnAKn··，得22222230330xyxy