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阶段方法技巧训练（一）专训2探究二次函数中存在性问题习题课存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案．常见的类型有：探索与特殊几何图形有关的存在性问题，探索与周长有关的存在性问题，探索与面积有关的存在性问题．1类型探索与特殊几何图形有关的存在性问题1．【2015·绵阳】如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋a(a≠0)与y轴相交于A点，顶点为M，直线y＝x－a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．12(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示点M，A的坐标．(1)由题意联立整理得2x2＋5x－4a＝0，由Δ＝25＋32a＞0，解得a＞.∵a≠0，∴a＞且a≠0.在y＝－x2－2x＋a中，令x＝0,得y＝a，∴A(0，a)．由y＝－x2－2x＋a＝－(x＋1)2＋1＋a，得M(－1，1＋a)．解：221.2yxxayxaìïïïïíïïïïî＝－－＋，＝－2532－2532－(2)将△NAC沿着y轴翻折，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积．(2)设直线MA的解析式为y＝kx＋b，将A(0，a)，M(－1，1＋a)的坐标代入，得故直线MA的解析式为y＝－x＋a.联立解：1.abakbìïïíïïî＝，＋＝－＋1.kbaìïïíïïî＝－，解得＝1.2yxayxaìïïïíïïïî＝－＋，＝－43.3axayìïïïïïíïïïïïî＝，解得＝－∴N由于P点是N点关于y轴的对称点，因此P代入y＝－x2－2x＋a，得－＝－a2＋a＋a，解得a＝或a＝0(舍去)．∴ACMP∴AC＝4.33aa骣÷ç÷ç÷ç桫，－433aa骣÷ç÷ç÷ç桫－，－，3a1698394904骣÷ç÷ç÷ç桫，，904骣÷ç÷ç÷ç桫，，-1314骣÷ç÷ç÷ç桫，，-33.4骣÷ç÷ç÷ç桫，--9.2∴S△PCD＝S△PAC－S△DAC＝AC·|xP|－AC·|xD|＝××(3－1)＝129.2121292(3)在抛物线y＝－x2－2x＋a(a＞0)上是否存在点Q，使得以Q，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．(3)存在．①当点Q1在y轴左侧时，由四边形AQ1CN为平行四边形，得AC与Q1N相互平分，则点Q1与N关于原点(0，0)中心对称，而N故Q1代入y＝－x2－2x＋a，得＝－a2＋a＋a，解得a＝或a＝0(舍去)，解：433aa骣÷ç÷ç÷ç桫，－，433aa骣÷ç÷ç÷ç桫－，，3a16983158∴Q1②当点Q2在y轴右侧时，由四边形ACQ2N为平行四边形，得NQ2∥AC且NQ2＝AC，而NA(0，a)，C(0，－a)，故Q2代入y＝－x2－2x＋a，得－＝－a2－a＋a，解得a＝或a＝0(舍去)，73a55.28骣÷ç÷ç÷ç桫－，433aa骣÷ç÷ç÷ç桫，－，4733aa骣÷ç÷ç÷ç桫，－，1698338∴Q2∴当点Q的坐标为或时，Q，A，C，N四点能构成平行四边形．5528骣÷ç÷ç÷ç桫－，17.28骣÷ç÷ç÷ç桫，－1728骣÷ç÷ç÷ç桫，－2探索与周长有关的存在性问题类型2．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，OB＝OA，且∠AOB＝120°.(1)求点B的坐标．(1)如图，过点B作BD⊥y轴于点D，则∠BOD＝120°－90°＝30°.由A(－2，0)可得OA＝2，∴OB＝2.于是在Rt△BOD中，易得BD＝1，OD＝.∴点B的坐标为(1，)．解：33(2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式．(2)由抛物线经过点A(－2，0)，O(0，0)可设抛物线的解析式为y＝ax(x＋2)，将点B的坐标(1，)代入，得a＝因此所求抛物线的解析式为y＝x2＋x.解：33,333233(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．(3)存在．如图，易知抛物线的对称轴是直线x＝－1，当点C是抛物线的对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，解：320.kbkbìïïíïïî＋＝，则－＋＝3323.3kbìïïïïïíïïïïïî＝，解得＝∴y＝x＋.当x＝－1时，y＝因此点C的坐标为3331.3骣÷ç÷ç÷ç÷÷ç桫，-23333，3探索与面积有关的存在性问题类型3．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D.(1)求抛物线的解析式．(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(1，0)，B(0，2)，∴∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2.解：012.bccìïïíïïî＝＋＋，＝32.bcìïïíïïî＝－，解得＝(2)将抛物线沿y轴平移后经过点C(3，1)，求平移后所得抛物线的解析式．(2)当x＝3时，由y＝x2－3x＋2得y＝2，可知抛物线y＝x2－3x＋2过点(3，2)，∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位长度后过点C.∴平移后抛物线的解析式为y＝x2－3x＋1.解：(3)设(2)中平移后的抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，在此抛物线上是否存在点N，使△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．(3)存在．假设存在点N，∵点N在抛物线y＝x2－3x＋1上，∴可设N点坐标为(x0，x02－3x0＋1)．由(2)知，BB1＝DD1＝1.将y＝x2－3x＋1配方得y＝解：235,24x骣÷ç÷ç÷ç桫--∴抛物线的对称轴为直线x＝.当0x0时，如图①，∵S△NBB1＝2S△NDD1，∴×1×x0＝2××1×.∴x0＝1.此时x02－3x0＋1＝－1，∴点N的坐标为(1，－1)．321212032x骣÷ç÷ç÷ç桫-32当x0时，如图②，同理可得×1×x0＝2××1×，∴x0＝3，此时x02－3x0＋1＝1.∴点N的坐标为(3，1)．综上，符合条件的点N的坐标为(1，－1)，(3，1)．321212032x骣÷ç÷ç÷ç桫-