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双休作业(七)2切线判定和性质的四种应用类型第24章圆12341．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；1类型应用于求线段的长直线CD与⊙O相切．理由如下：如图，连接OD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠1＝90°.∵OD＝OB，∴∠CBD＝∠1.又∵∠CDA＝∠CBD，∴∠1＝∠CDA，∴∠CDA＋∠ADO＝90°，即∠CDO＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．∵AC＝2，⊙O的半径是3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3.在Rt△CDO中，由勾股定理得CD＝4.∵CE切⊙O于点D，EB切⊙O于点B，∴DE＝BE，∠CBE＝90°.设DE＝BE＝x，在Rt△CBE中，由勾股定理得CE2＝BE2＋BC2，则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2，解得x＝6，即BE＝6.返回2．(中考·珠海)如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A，C，D，且与AB相切于点A.(1)求证：BC为⊙O的切线；2类型应用于求角的度数证明：如图，连接OA，OB，OC.∵AB与⊙O切于点A，∴OA⊥AB，即∠BAO＝90°.∵四边形ABCD为菱形，∴BA＝BC.又∵OA＝OC，OB＝OB，∴△ABO≌△CBO.∴∠BCO＝∠BAO＝90°，∴OC⊥BC，∴BC为⊙O的切线．(2)求∠B的度数．解：如图，连接BD.∵△ABO≌△CBO，∴∠ABO＝∠CBO.∵四边形ABCD为菱形，∴BD平分∠ABC，∴点O在BD上．∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠BOC＝∠ODC＋∠OCD＝2∠ODC.∵CB＝CD，∴∠OBC＝∠ODC，∴∠BOC＝2∠OBC.∵∠BOC＋∠OBC＝90°，∴∠OBC＝30°，∴∠ABC＝2∠OBC＝60°.返回3．(中考·凉山州)如图，已知AB为⊙O的直径，AD，3类型应用于求圆的半径BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E.(1)求证：DC是⊙O的切线；证明：如图，连接DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO.∴∠COD＝∠COB.在△COD和△COB中，∵OD＝OB，∠COD＝∠COB，OC＝OC，∴△COD≌△COB(SAS)．∴∠CDO＝∠CBO.∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO＝90°.∴∠CDO＝90°.∴CD是⊙O的切线．(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．解：设⊙O的半径为r，则OD＝r，OE＝r＋1，∵CD是⊙O的切线，∴∠EDO＝90°.∴ED2＋OD2＝OE2.∴32＋r2＝(r＋1)2.解得r＝4.∴⊙O的半径为4.返回4．(中考·通辽)如图，AB为⊙O的直径，D为的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；4类型应用于求图形的面积AC︵证明：∵D为的中点，∴OD⊥AC.∵AC∥DE，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线．AC︵(2)连接CD，若OA＝AE＝4，求四边形ACDE的面积．解：如图，∵OD⊥AC，∴AF＝CF.∵AC∥DE，且OA＝AE，∴F为OD的中点，即OF＝FD.在△AFO和△CFD中，AF＝CF，∠AFO＝∠CFD，OF＝DF，∴△AFO≌△CFD(SAS)．∴S△AFO＝S△CFD.∴S四边形ACDE＝S△ODE.在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝4，∴OE＝8，∴DE＝OE2－OD2＝43，∴S四边形ACDE＝S△ODE＝12×OD×DE＝12×4×43＝83.返回