九年级数学上册：第24章圆2--圆中常用的作辅助线的八种方法

双休作业(八)2圆中常用的作辅助线的八种方法第24章圆1234567891．如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的1方法作半径，巧用同圆的半径相等顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正方形的边长为4cm，求该半圆的半径．解：如图，连接OD，OA，OF.则OD＝OA＝OF.又∠OCD＝∠OBA＝90°，DC＝AB，∴Rt△DCO≌Rt△ABO.∴OC＝OB.设OA＝rcm，AB＝acm.则OB＝12BC＝12AB＝a2cm，OF＝rcm.在Rt△OAB中，r2＝a22＋a2；在Rt△OEF中，r2＝42＋4＋a22，∴a24＋a2＝16＋16＋4a＋a24，解得a1＝8，a2＝－4(舍去)．∴r2＝822＋82＝80，解得r1＝45，r2＝－45(舍去)，即该半圆的半径为45cm.返回2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线CD2方法连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等与圆交于点D，DP⊥AC，垂足是点P，DH⊥BM，垂足是点H.求证：AP＝BH.证明：连接AD，BD.∵∠DAC，∠DBC是DC︵所对的圆周角．∴∠DAC＝∠DBC.∵CD平分∠ACM，DP⊥AC，DH⊥BM，∴DP＝DH.在△ADP和△BDH中，∠DAP＝∠DBH，∠DPA＝∠DHB＝90°，DP＝DH，∴△ADP≌△BDH.∴AP＝BH.返回3．如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC.(1)求证：AD2＋BC2＝4R2；3方法作直径，巧用直径所对的圆周角是直角证明：过点D作⊙O的直径DE，连接AE，EC，AC.∵DE是⊙O的直径，∴∠ECD＝∠EAD＝90°.又∵CD⊥AB，∴EC∥AB，∴∠BAC＝∠ACE.在Rt△AED中，AD2＋AE2＝DE2，∴AD2＋BC2＝4R2.∴BC︵＝AE︵.∴BC＝AE.(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(ADBC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．解：过点O作OF⊥AD于点F.∵弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两根(ADBC)，∴AD＝5，BC＝1.由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，∴52＋12＝4R2，∴R＝262.∵∠EAD＝90°，OF⊥AD，∴OF∥EA.又∵O为DE的中点，∴OF＝12AE＝12BC＝12，即点O到AD的距离为12.返回4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．4方法证切线时辅助线作法的应用解：CD与⊙O相切．理由如下：如图，作⊙O的直径CE，连接AE.∵CE是⊙O的直径，∴∠EAC＝90°.∴∠E＋∠ACE＝90°.∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.∴∠B＝∠ACD.∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E，∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC.又∵OC为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．返回5．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为()5方法遇弦加弦心距或半径A．3B．4C．32D．42返回C6．(中考·贵港)如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝，OH＝1，则∠APB的度数是________．2360°返回7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的6方法遇直径巧加直径所对的圆周角⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形；证明：如图，连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线．∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.∴△ABC为等边三角形．(2)求DE的长．返回解：如图，连接BE.∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC.∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．∵D是BC的中点，∴DE为△ABC的中位线．∴DE＝12AB＝12×2＝1.8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；7方法遇切线巧作过切点的半径证明：如图，连接OB.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA，即∠PAO＝∠PBO.又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.∴∠PBO＝90°，即OB⊥PB.又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．(2)已知PA＝，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．3解：如图，连接OP.∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．∴OP为线段AB的垂直平分线．又∵BC⊥AB，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠ACB＝60°.由(1)知∠PAO＝90°.∴∠APO＝30°.∴PO＝2AO.∵在Rt△APO中，AO2＋PA2＝PO2，∴AO2＋3＝(2AO)2.又∵AO＞0，∴AO＝1，即⊙O的半径为1.返回9．(中考·自贡)如图，点B，C，D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝cm.(1)求证：AC是⊙O的切线；8方法巧添辅助线计算阴影部分的面积63证明：如图，连接CO，交DB于点E，∴∠O＝2∠CDB＝60°.又∵∠OBE＝30°，∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°.∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°，即OC⊥AC.又∵点C在⊙O上，∴AC是⊙O的切线．(2)求由弦CD，BD与所围成的阴影部分的面积(结果保留π)．BC︵解：∵OE⊥DB，∴EB＝12DB＝33cm.在Rt△EOB中，∵∠OBD＝30°，∴OE＝12OB.由勾股定理可求得OB＝6cm.∵∠CDE＝∠OBE，DE＝BE，∠CED＝∠OEB，∴△CDE≌△OBE.∴S△CDE＝S△OBE.∴S阴影＝S扇形OCB＝π·62＝6π(cm2)．60360返回