平面向量等值线法

1技巧八平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可以用等值线法。二、基本理论（一）平面向量共线定理三点共线；反之亦然，则若已知CBAOCOBOA,,1,（二）等和线平面内一组基底OBOA,及任一向量OP，ROBOAOP,，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，则)(定值k,反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线成为等和线。（1）当等和线恰为直线AB时，1k；（2）当等和线在O点和直线AB之间时，1,0k；（3）当直线AB在O点和等和线之间时，，1k；（4）当等和线过O点时，0k；（5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；（6）定值k的变化与等和线到O点的距离成正比；（三）等差线平面内一组基底OBOA,及任一向量OP，ROBOAOP,，C为线段AB的中点，若点P在直线OC上或在平行于OC的直线上，则)(定值k,反之也成立，我们把直线OC以及与直线OC平行的直线称为等差线。（1）当等差线恰为直线OC时，0k；（2）当等差线过A点时，1k；（3）当等差线在直线OC与点A之间时，1,0k；（4）当等差线与BA延长线相交时，，1k；（5）若两等差线关于直线OC对称，则两定值k互为相反数；2（四）等积线平面内一组基底OBOA,及任一向量OP，ROBOAOP,，若点P在以直线OBOA,为渐近线的双曲线上，则为定值k，反之也成立，我们把以直线OBOA,为渐近线的双曲线称为等积线（1）当双曲线有一支在AOB内时，0k；（2）当双曲线的两支都不在AOB内时，0k；（3）特别的，若baOBbaOA,,,，点P在双曲线)0,0(12222babyax时，41k；（五）等商线平面内一组基底OBOA,及任一向量OP，ROBOAOP,，若点P在过O点（不与OA重合）的直线上，则)(定值k，反之也成立。我们把过点O的直线（除OA外）称为等商线。（1）当等商线过AB中点时，1k；（2）当等商线与线段AC（除端点）相交时，，1k；（3）当等商线与线段BC（除端点）相交时，1,0k；（4）当等商线即为OB时，0k；（5）当等商线与线段BA延长线相交时，1,k；（6）当等商线与线段AB延长线相交时，0,1k；（7）当等商线与直线AB平行时，1k；（六）等平方和线平面内一组基底OBOA,及任一向量OP，ROBOAOP,，且OBOA，若点P在以AOB角平分线为半长轴的椭圆上，则22为定值k，反之也成立，我们把以以AOB角平分线为半长轴的椭圆称为等平方和线。3特别的，若baOBbaOA,,,，点P在双椭圆)0,0(12222babyax时，21k；三、解题步骤1、确定等值线为1的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；四、几点补充1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和或差；五、典型例题例1给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OByOAxOC，其中Ryx，，则yx的最大值是___________.答案：2例2在正六边形ABCDEF中，P是三角形CDE内（包括边界）的动点，设APxAByAF,则yx的取值范围__________答案：4,34例3如图，在平行四边形ABCD中，M、N为CD边的三等分点，S为AM与BN的交点，P为边AB边上一动点，Q为△SMN内一点（含边界），若,BNyAMxPQ则yx的取值范围是__________.答案：341，例4梯形ABCD中，ABAD，PABDCAD,3,1为三角形BCD内一点（包括边界），APxAByAD，则yx的取值范围__________答案：341，例5设ED,分别是ABC的边BCAB,上的点，ABAD21,BCBE32,若ACABDE21(21,为实数)，则21的值为__________.（注：此题为13江苏高考题第8题，但点E为三等分的条件其实没有必要，可舍）答案：215例5在正方形ABCD中，E为BC中点，P为以AB为直径的半圆弧上任意一点，设AExADyAP，则yx2的最小值为___________.答案：1例6在正方形ABCD中，E为AB中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设ACxDEyAP,则yx的最小值为____________答案：21例7已知1ONOM，OPxOMyON(yx,为实数)．若△PMN是以M为直角顶点的直角三角形，则yx取值的集合为________．答案：16例8已知椭圆125100:22yxE的上顶点为A，直线4y交椭圆于CB,（B在C的左侧），点P在椭圆E上，若BCnBAmBP,求nm的最大值答案：1813105例9,32,1),0,2(),0,0(BACACBAABCO的外心，若为已知且ACABAO，则_______答案：613例10平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°,且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝32，若OBnOAmOC,则nm的值为__________答案：6,0例11如图，CBA,,是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若OBnOAmOC，则nm的取值范围为_____________.答案：0,1-7例12在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，1(2,1)e、2(2,1)e分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点P，若12OPaebe（a、bR），则a、b满足的一个等式是_____________.答案：14ab例13已知,0,3,1OBOAOBOA点030AOCAOBC内，且在，设OBnOAmOC，则nm的值为_________.答案：3例14如图，倾斜角为的直线OP与单位圆在第一象限的部分交于点P，单位圆与坐标轴交于点)0,1(A，点)1,0(B，PA与y轴交于点N，PB与x轴交于点M，设),(RyxPNyPMxPO，，求yx的最小值。答案：28例15如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧AB上且不与A、B重合的一个动点，OByOAxOC，若)0(yxu存在最大值，则的取值范围为__________.答案：2,21例16在平面直角坐标系中，O为坐标原点，两定点BA,满足,2OBOAOBOA则点集ROBOAOPP,,1,|所表示的区域面积为__________.答案：34