用微积分推导匀速圆周运动向心力公式

用微积分推导匀速圆周运动向心力公式已知如图所示，建立如图所示平面直角坐标系，其中物体做圆周运动的轨迹方程为x2+y2=R2，即圆周半径为R。设t为所经历的时间，当t=0时，物体位于坐标（R，0）点，并且逆时针运动。设匀速圆周运动的速率为v，设物体质量为m，受到的向心力为F。当时间为t时，物体和圆心的连线与x轴正方向的夹角为θ，设周期为T，则2tT在x轴方向，物体所受的分力为2cosxtFFT所以，x方向的加速度为2cosxFtamT为两边对t求积分得2cos2cos22cos22sin2xxFtvdtmTFtdtmTFTtdtmTTFTtCmT得其中，Cx与t无关，由已知条件得，当t=0时，vx=0代入上式得Cx=0tx2sin2xFTtvmT当时间为时，轴方向的分速度为在y轴方向，物体所受到的分力为2sinytFFT所以，物体在y轴方向的加速度为2sinyFtamT两边对t求积分得2sin2sin22sin22cos2yFtvdtmTFtdtmTFTtdtmTTFTtCmT其中C与t无关，由已知条件得，当t=0时，vy=v代入上式得22cos22yFTCvmFTtFTvvmTm222222222222sin(cos)4222cos()222cos02xyvvvFTtFTtFTvvmTmTmFTtFTvvmTmtTFTvm经化简可得由于为变量所以只能22222222222222,444FTRTmvRFvmmvFR移项，两边求平方得v由于代入得v化简可得即向心力表达式