高等代数【北大版】5.4

第五章二次型§5.1二次型的矩阵表示§5.2标准形§5.3唯一性§5.4正定二次型章小结与习题§5.4正定二次型一、正定二次型二、正定矩阵三、n元实二次型的分类§5.4正定二次型四、小结§5.4正定二次型一、正定二次型则称f为正定二次型.12(,,,)0nfccc如，二次型是正定的；2121(,,,)nniifxxxx12121(,,,)nniifxxxx一组不全为零的实数都有12,,,nccc1、定义：实二次型若对任意12(,,,)nfxxx§5.4正定二次型2、正定性的判定1）实二次型正定XAX,0nXRXAX若X0,则2）设实二次型f正定0,1,2,,idin证：充分性显然.下证必要性，若f正定，取222121122(,,,)nnnfxxxdxdxdx则20()0,0,1,2,,iiifXdxdin0()(0,,0,1,0,,0),1,2,,iXin§5.4正定二次型经过非退化线性替换X＝CY化成则，3）非退化线性替换不改变二次型的正定性.11220,,00YYnnkckcXCkc1212(,,,)()(,,,)nnfxxxYCACYgyyy12000012(,,,)()(,,,)nnfcccXAXYCACYgkkk任取一组不全为零的数令12,,,,nkkk证明：设正定二次型12(,,,)nfxxxXAX§5.4正定二次型所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性.又由于C可逆，0Y0，所以0,X0同理，若正定，则正定.fg1212(,,,)(,,,)0nngkkkfccc12(,,,)ngyyy正定.反之，实二次型可经过非退化12(,,,)ngyyy不全为0.即12,,,nccc线性替换变到实二次型12(,,,),nfxxxYX-1=C§5.4正定二次型秩＝n＝（的正惯性指数）.fpf4）(定理5)n元实二次型正定12(,,,)nfxxxXCY证：设经非退化线性替换12(,,,)nfxxx222121122(,,,)nnnfxxxdydydy变成标准形由2),正定f0,1,2,,idin即，的正惯性指数p＝n＝秩.ff§5.4正定二次型规范形为22212.nzzz2221122,0,1,2,,nndydydyiin5）正定二次型的标准形为12(,,,)nfxxx§5.4正定二次型二、正定矩阵1、定义设A为实对称矩阵，若二次型XAX正定二次型的规范形为22212nzzzZEZ是正定的，则称A为正定矩阵.2、正定矩阵的判定2)实对称矩阵A正定1）实对称矩阵A正定A与单位矩阵E合同.A与E合同,即存在可逆矩阵C，使ACECCC可见，正定矩阵是可逆矩阵.存在可逆矩阵C，使ACC§5.4正定二次型3）实对称矩阵A正定A与任一正对角矩阵合同.即，D与E合同.为任一正对角矩阵，则若12,0,1,2,,inddDdind1122111nnddddDdd§5.4正定二次型例1、设A为n阶正定矩阵，证明（5）若B亦是正定矩阵，则A＋B也是正定矩阵；（2）是正定矩阵；(0)kAk（1）是正定矩阵；1A（3）是正定矩阵；*A（4）是正定矩阵（m为任意整数）；mA§5.4正定二次型证：（1）由于A正定，则存在可逆矩阵P，使于是有，故，正定.1A（2）由于A正定，对都有,0,nXRX0,XAX因此有()0.XkAXkXAX1111111()()(())()PAPPAPPAPE,PAPE令1(),QP故，正定.kA即，与单位矩阵E合同.1A则Q可逆，且1,QAQE§5.4正定二次型，由（1）（2）即得正定.*1AAA又*A（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使ACC，于是20ACCC当m＝2k时，2(),mkkkkkAAAAAEA即，与单位矩阵E合同，所以正定.mAmA（4）由于A正定，知为n阶可逆对称矩阵，mA§5.4正定二次型（5）由于A、B正定，对都有,0,nXRX0,0XAXXBX因此有()0.XABXXAXXBX故，A＋B正定.当m＝2k＋1时，21(),mkkkkkAAAAAAAA即，与正定矩阵A合同，而A与单位矩阵E合同，mA所以与E合同，即正定.mAmA§5.4正定二次型3、正定矩阵的必要条件1）实对称矩阵正定()ijnnAa0,1,2,,.iiain取(0,,0,1,0,,0)iiX第个正定.证：若A正定，则二次型12(,,,)XAXnfxxx()0,1,2,,iiiiifXXAXain则§5.4正定二次型反之不然.即，为对称矩阵，且()ijnnAa但A未必正定.如0,1,2,,,iiain11,11A所以A不是正定的.注意21212(,)(),fxxXAXxx当时，有12121(,)0.xxfxx§5.4正定二次型2)实对称矩阵A正定det0AA但不是正定二次型.2212XAXxx10,1001AA如20.ACCC注意证：若A正定，则存在可逆矩阵C，使,ACC从而反之不然.即实对称矩阵A，且A未必正定.0,A§5.4正定二次型4、顺序主子式、主子式、11111)(1,2,,)kkkkkkaaAkRaa称为A为第k阶顺序主子矩阵;()nnijAaR设矩阵11112)det(1,2,,)kkkkkaaPAkaa称为A的第k阶顺序主子式.§5.4正定二次型3）k级行列式111212122212kkkkkkiiiiiiiiiiiikiiiiiiaaaaaaQaaa称为A的一个k阶主子式.即行指标与列指标相同的k阶子式§5.4正定二次型5、（定理6）A的顺序主子式Pk全大于零.1211(,,,)nnnijijijfxxxaxxXAX正定实二次型1211(,,,)kkkkijijijfxxxaxx1212(,,,)(1,2,,)kkxxxxxAkx证:必要性.设正定，对每一个k12(,,,)nfxxx(1),kkn令§5.4正定二次型是正定的，从而正定.12(,,,)knfxxx(1,2,,)Ak对任意一不全为零的数有12,,,,kccc1212(,,,)(,,,,0,,0)0kkkfcccfcccdet(1,2,,)0,1,2,,.kPAknk充分性：对n作数学归纳法.n＝1时，正定.结论成立.211111110.()iaafxax假设对于n－1元二次型结论成立，下证n元的情形.§5.4正定二次型又A的顺序主子式全大于零，所以A1的顺序主子式由归纳假设，A1正定，即存在可逆矩阵G，使令1111,1211,11,11,,nnnnnnnnaaaaAaaa,=则1nnAAa11.nGAGE也全大于零.().ijnnAa设§5.4正定二次型则11121120()101nnnnnEGEEGCCACCGaG100nnnEaGG令10,01GC再令12,01nEGC则11110001011nnnEGAGGCACGa§5.4正定二次型由判定充要条件3).知A正定，所以正定.XAX再令12,nnCCCaaGG则有100nECACa两边取行列式，得2CAa又0，0aA即为正对角矩阵.1nEa§5.4正定二次型例2、判定下面二次型是否正定.其顺序主子式正定.f1550,10,0.PA232PP212221231231213231)(,,)55484fxxxxxxxxxxxx解：的矩阵524212425A123(,,)fxxx§5.4正定二次型解：的矩阵12(,,,)nfxxx111221112211122AA的第k阶顺序主子式Pk（习题7）212112)(,,,)nniijiijnfxxxxxx§5.4正定二次型1,2,,.kn正定.f111111221111111222221111112222kkkkP1111111111000()0,222220000kkkkkk§5.4正定二次型例3、证明：若实对称矩阵A正定，则A的任意一个k阶主子式证：作二次型（习题9）1112121222120.kkkkkkiiiiiiiiiiiikiiiiiiaaaaaaQaaa1212(,,,)kkiiiiikixxxxxQx1211(,,,)kststkkiiiiiiistgxxxaxx§5.4正定二次型其中，,,1,2,,0,,1,2,,sisjscjiskcjisk当当对任意一不全为零的数,有12,,,kiiiccc000,XAX从而，由于A正定，有正定，即有12(,,,)nfxxxXAX0.kQ行列式大于零，即1212(,,,)(0,,0,,0,,,0,,,0,,0)kkiiiiiigcccfccc000XAX012(,,,)0,nXccc即，是正定二次型，因此其矩阵的12(,,,)kiiigxxx§5.4正定二次型三、n元实二次型的分类设n元二次型12(,,,),,nnnfxxxXAXAAR若对任意一组不全为零的实数12,,,,nccc都有②，则称为半正定二次型.12(,,,)0nfcccf③，则称为半负定二次型.f12(,,,)0nfccc①则称为负定二次型.12(,,,)0,nfcccf④既不是半正定，也不是半负定，则称为ff1．定义不定二次型.§5.4正定二次型注：①正定矩阵②负定矩阵③半正定矩阵④半负定矩阵⑤不定矩阵相应于二次型的分类，n级实对称矩阵可分类为：§5.4正定二次型1）实二次型正定12(,,,)nfxxx12(,,,)nfxxx负定；实对称矩阵A正定－A负定.半负定；12(,,,)nfxxx2）实二次型半正定12(,,,)nfxxx实对称矩阵A半正定－A半负定.2、判定§5.4正定二次型3）定理712(,,,),,nnnfxxxXAXAAR①半正定；12(,,,)nfxxx(或A半正定；)②秩=秩(A)=（正惯性指数）；fp③A合同于非负对角阵，即存在可逆阵C，使则下列有条件等价：④存在，使nnCR;ACC⑤A的所有主子式皆大于或等于零.（补充题9）由此可得，A半正定0A（习题14）1,0,1,2,,indCACdind设n元实二次型§5.4正定二次型四、小结1、正定（负定、半正定、半负定、不定）二次型；基本概念2、顺序主子式、主子式正定（负定、半正定、半负定、不定）矩阵；基本结论1、非退化线性替换保持实二次型的正定（负定、半正定、半负定、不定）性不变.§5.4正定二次型负定（半负定）.12(,,,)nfxxx2、实二次型正定（半正定）12(,,,)nfxxx3、实二次型f(x1,x2,…,xn)＝X´AX正定A与E合同，即存在可逆阵C，使A＝C´C.f的正惯性指数p等于nA的各级顺序主子式全大于零.实对称矩阵A半正定0.A4、实对称矩阵A正定0A§5.4正定二次型存在，使nnCRACC5、实