复变函数与积分变换(练习题)-(答案)

复变函数与积分变换第一章练习题1．计算(1)(2)iii；解：（1）103)31)(31()31(3123)2)(1(2iiiiiiiiiiiii；（2）10310)2)(1()2)(2(1)1)(1()2)(1()2)(1(iiiiiiiiiiiii。2．解方程组12122(1)43zziizizi；解：消元法，)2()1(i得：izi33)31(1，解得：563)31)(31()31)(33(31331iiiiiiiz，代入)1(得：517656322iiiz。3．求1i、13i的模与辐角的主值；解：]argarctanarctan,arctanarg，（，，三，二一，四zxyxyxyz，)43sin()43cos(21ii；)3arctansin()3arctancos(1031ii。4．用复数的三角表示计算3132i、422i；解：1)sin()cos()3cos()3cos(23133iii；3,2,1,0,4243sin4243cos2)43sin43(cos228341kkiki，163sin163cos2830iz，1611sin1611cos2831iz，1619sin1619cos2832iz，1627sin1627cos2833iz。5．解方程310z；sincos13iz，2,1,0,32sin32cossincos31kkikiz，,23210iz,11ziz23212。6．用复数形式的参数方程表示连接1i与14i的直线段；解：10,zz：10,)(010ttzzzz，10,)52(1ttiiz。7．证明：2221212122Re()zzzzzz。证明：zzz2，2121222121212121221))(()()(zzzzzzzzzzzzzzzz，)Re(221222121212221zzzzzzzzzz。第二章解析函数1．(34)Lni（），主值为（）；解：,2,1,0),2(arglnlnkkziziArgzzLnz，,2,1,0),234arctan(5ln)43(kkiiLn，)34arctan(5ln)43ln(ii。2．当a（）时，22()ln()arctanyfzaxyix在区域0x内解析；解：C-R方程xvyuyvxu,，xyvyxauarctan),ln(22，222222111,2yxxxxyyvyxxaxu，得到21a。3．函数()2arg(3)fzz在复平面除去实轴上一区间（]3,(）外是解析的；4．函数ImRewzzz在其可导处的导数为（）；解：2)(,iyxxyxyiyxwiyxz，2,yvxxyu，C-R方程：yyvxvxyuyxu2,0,,1，可导点iz，2)(izizxvixuif。5．计算3ie、(23)Lni、21、1i的值；3333)sin(coseieeeeii；,2,1,0),223arctan(13ln)32(kkiiLn，,2,1,0,122)21(ln2122keeeikkiLn，,2,1,0,12)21(ln1keeekkiiiLni。6．问函数23()2fzxyi在何处可导？何处解析？并求(3)fi，(32)fi；解：C-R方程322,yvxu，26,0,0,2yyvxvyuxxu，23yx处可导，(3)fi6，(32)fi不存在，处处不解析。7．1212ln()lnlnzzzz是否正确？若不正确，举例说明；错误，1212ln()lnlnzzzz，2121argarg)arg(zzzz，2121)(LnzLnzzzLn，2121)(ArgzArgzzzArg，LnzLnzLnzLnz22，0LnzLnzzzLn，LnznzLnn1。8．已知23(,)3vxyxyx，求以v为虚部的解析函数()fzuiv，并单独用z的形式表示；解：C-R方程：2233,6xyxvyuxyyvxu，),(3)1(2yyxu22233)(3xyyxyu，得到：cyyyy32)(,3)(,332cyyxucizxxyicyyxzf3323233)(。9．如果函数()fzuiv在区域D内解析，并且满足条件892003uv，试证()fz在D必为常数。解：方程892003uv两边对yx,求偏导数得：098xvxu，098yvyu，C-R方程：xvyuyvxu,，解得：0xvyuyvxu，()fz在D必为常数。第三章复变函数的积分1．2||122zdzzz（0）；2||1cos()zzdzz（0）；2、计算积分2(2)Cizdz，C是由(1,0)A到(0,1)B的直线段；解：(1,0)A，(0,1)B的直线段的复数形式的参数方程为：10,)1(1ttiz2(2)Cizdzdtitii)1()])1(1(2[2103．计算积分（1）22zCedzzz，:||2Cz；（2）2|2|1coszizdzz；解：（1）:||2Cz内有奇点1,021zz，22zCedzzz212222CzCzdzzzedzzze211122CzCzdzzzedzzze1202212zzzzzeizei)1(22ei；（2）12iz内没有奇点2|2|1coszizdzz04．计算(21)(2)CzdzIzz，其中C是(1)||1z;(2)|2|1z;（3）1|1|2z；（4）||3z解：（1）(21)(2)CzdzIzz5222121221211izzidzzzzzz；（2）(21)(2)CzdzIzz54122212212izzidzzzzzz；（3）)(zf在1|1|2z内处处解析，故(21)(2)CzdzIzz0；（4）(21)(2)CzdzIzziiidzzzzdzzzzzz545)2)(12()2)(12(121。5、计算积分3(1)zCedzzz，其中C是不经过0与1的简单光滑闭曲线．解：（1）3(1)zCedzzz;0（2）3(1)zCedzzz;2)1(2)1(0332izeidzzzezzCz（3）3(1)zCedzzz;!22)1(2133iezeidzzzezzCz（4）3(1)zCedzzziedzzzedzzzeCzCz)2()1()1(23332。第四章解析函数的级数表示1．311z的幂级数展开式为（03)(nnz），收敛域为（1z）；2．函数21()(1)fzz展开成z的幂级数，有()fz（）；21()(1)fzz110)1()(11nnnnnnzzz3．下列幂级数的收敛半径（1）21nnzn；（2）0!nnzn；（3）0!nnnz；解：（1）212)1(1,1nununn，1lim1nnnuu，收敛半径为1；（2）)!1(1,!11nununn，011limlim1nuunnnn，收敛半径为；（3）)!1(,!1nununn，)1(limlim1nuunnnn，收敛半径为0。4．判断下列级数的敛散性（1）1nnin；（2）1(35)!nnin；（3）115()2nni；解：（1）1nnini)51311()614121(111121)1(21)1(nnnnnin条件收敛；（2）1!34nnn，10134lim!34)!1(34lim1nnnnnnn，绝对收敛；（3）n226，故115()2nni发散。5．把1()32fzz分别在0z和2z展开为泰勒级数；解：（1）32z展开成泰勒级数，1()32fzz010232321231121nnnnnnzzz；（2）342z展开成泰勒级数，1()32fzz010)2(43)1(4)2(3414)2(311414)2(31nnnnnnnzzzz。6．将函数21()1fzz分别在圆环域0||2zi和2||zi内展开成洛朗级数；解：（1）0||2zi内21()1fzziiziziziz2)(11110110212121211211nnnnniziiiziziiiziiz；（2）2||zi，21()1fzziiziziziz2)(11110)2(02)(22)(121111nnnnniziiziiziziiziz7．将2(1)()(1)zfzzz分别在圆环域（1）0||1z；（2）1||z内展开为洛朗级数。第五章留数及其应用1．0z分别是1sinzz、31zez的几阶极点；解：!5!3111)!5!3(1sin12353zzzzzzzz，三阶极点；331sinzzzz三阶极点；31zez211zzez，二阶极点。2．留数34Re[,2](1)(2)zszzz(1)2)(1(43)2(lim2zzzzzz)．3．计算积分21||(1)zzzedzz；解：21||(1)zzzedzziezzsiz2]1,1[Re212。4．计算积分||252(1)zzdzzz、13||12cos()()zizdzeezi、55||21(3)(1)zdzzz；解：||252(1)zzdzzzizzzsizzzsi10]1,)1(25[Re2]0,)1(25[Re2；13||12cos()()zizdzeezi33131)(cos)(!21lim4],)(cos[Re22izzizeeiiizzsieeizieeeeiieei22cos2111