2020四川对口升学数学总复习第一单元

2020对口升学四川专用数学总复习集合第一单元考点解读知识内容考试层次要求了解理解掌握集合的概念√集合的表示方法√集合之间的关系(子集、真子集、相等)√集合的运算(交、并、补)√充要条件√思维导图知识要点1．集合的概念由某些确定的对象组成的整体叫做集合，简称集；组成集合的对象叫做这个集合的元素．2．集合的表示一般采用大写英文字母A，B，C…表示集合，小写英文字母a，b，c…表示集合中的元素．3．元素与集合的关系如果a是集合A的元素，称a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，称a不属于A，记作a∉A.4．集合元素的特征确定性、互异性、无序性．1.1集合的概念及表示方法知识要点5．常用数集自然数集(非负整数集)：N整数集：Z有理数集：Q实数集：R6．集合的分类有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合；空集：不含任何元素的集合，记作∅.知识要点7．集合的表示方法列举法：将集合的元素一一列举出来，用逗号隔开，放在花括号内；描述法：用元素的特征性质来表示集合，即在花括号中画一条竖线，竖线的左侧写上集合的代表元素，竖线的右侧写出元素所具有的特征性质，形如{x|p(x)}；图示法：用一条封闭的曲线内部表示集合．典例解析【例1】下列对象能组成一个集合的是()A．一切很大的数B．班上成绩好的同学C．接近100的数D．大于3的整数【思路点拨】本题考查集合元素的确定性．A、B、C中的“很大”“好”“接近”没有标准，元素不确定，而D中的元素是确定的．D变式训练1下列各组对象，能组成一个集合的是()①高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④的近似值．A．①②B．③④C．②③D．①③C3【提示】只有②③能构成集合，①④不能构成集合．典例解析【例2】已知集合A＝{x|x＜3}，a＝，则下列关系中正确的是()A．a∈AB．a∉AC．{a}∈AD．{a}∉AA7【思路点拨】本题主要考查元素与集合之间的关系，因为＜3，所以a是集合A中的一个元素．7变式训练2下列表示正确的是()A．0∈NB.∈NC．－3∈ND．π∈QA27【提示】∉N，故B错误；－3∉N，故C错误；π∉Q，故D错误．27典例解析【例3】用适当的方法表示下列集合．(1)大于2且小于9的偶数；(2)方程x2－9＝0的解集；(3)不等式3x－6＜0的解集；(4)不小于2的实数；(5)在平面直角坐标系中第一象限的所有点．【思路点拨】集合的表示方法有列举法、描述法和图示法．解：(1)大于2且小于9的偶数有4，6，8，故用列举法表示为{4，6，8}．(2)解方程x2－9＝0得x＝3或x＝－3，故用列举法表示为{－3，3}．(3)解不等式3x－6＜0得x＜2，故用描述法表示为{x|x＜2}．(4){x|x≥2}．(5){(x，y)|x＞0且y＞0}．典例解析变式训练3试分别用列举法和描述法表示下列集合．(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于7的整数．解：(1)用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}；由x(x2－2x－3)＝0得x＝－1或x＝0或x＝3，∴用列举法表示解集为{－1，0，3}；(2)用描述法表示为{x|2x7，x∈Z}；用列举法表示为{3，4，5，6}．典例解析【例4】已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}中至多有一个元素，求a的取值范围．【思路点拨】分a＝0和a≠0两种情况进行分类讨论．解：若a＝0，则有2x＋1＝0，解得x＝，则A＝，符合题意；若a≠0，则Δ≤0即4－4a≤0，解得a≥1.综上所述，a的取值范围是{a|a＝0或a≥1}．1212典例解析变式训练4若x∈R，则数集{x，x2－x}，满足什么条件？解：实数x满足x2－x≠x，解得x≠0且x≠2.高考链接1．(四川省2005年对口升学考试试题)下列命题中，正确的是()A．3{3}B．3∈{3}C．3{1，2，3}D．3∈∅2．(四川省2004年对口升学考试试题)若a＝1，集合A＝{x|x}，则下列关系正确的是()A．a⊆AB．{a}⊇AC．a∈AD．a∉A【提示】3∈{3}和{1，2，3}，A、C错误；3∉∅，D错误．B【提示】a∈A，故A、D错误；{a}⊆A，故B错误．C2高考链接3．(河北省2012年对口招生考试试题)已知集合M＝{2，3，a2}，N＝{2，3，2a－1}，若M＝N，则a＝()A．±1B．1C．－1D．04．(浙江省2012年高职考试题)集合A＝{x|x≤}，则下面式子正确的是()A．2∈AB．2∉AC．2⊆AD．{2}⊆A【提示】∵a2＝2a－1，∴a2－2a＋1＝0，解得a＝1.BB3【提示】2∉A，故A、C错误；2，故D错误．3高考链接5．(四川省1999年对口升学考试试题)设集合A＝{x|x1}，a＝，则()A．a⊆AB．a∉AC．{a}⊆AD．{a}∈A【提示】a∈A，故A、B、D错误．C3同步精练一、选择题1．下列各组对象中，能组成集合的是()A．高一财会班的高个子男生B．我国古代的四大发明C．我国的小河流D．本班兴趣广泛的同学2．若2∈{x，x2－x}，则x的值为()A．x＝－1B．x＝0C．x＝2D．x＝－1或2【提示】本题考查集合元素的确定性，A、C、D中的“高、小、广泛”没有标准，元素不确定．B【提示】本题考查集合元素的互异性，集合中的元素不能重复，故排除x＝2和x＝0的情况．A同步精练3．方程组的解集是()A．{2，－2}B．{(2，－2)}C．{2，－1}D．2，－1【提示】方程组的解集是一组有序实数对，有且只有B的形式正确．B=0=4xyxy，4．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}且－2∈A，1∈A，则p，q的值分别为()A．1，2B．1，－2C．{－1，2}D．－1，2【提示】∵－2∈A，1∈A，∴将－2和1分别代入集合中的方程得(－2)2－2p＋q＝0，12＋p＋q＝0，联立并解方程组得p＝1，q＝－2.B同步精练二、填空题5．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋2a＋3}，1∈A，则实数a的值为________．6．若集合{x|x2＋ax＋b＝0，a，b∈R}＝∅，则a，b应满足条件_________．7．用符号“∈”“∉”填空．(1)2________N;(2)－2________N;(3)3________Q;(4)________Z；(5)________Q;(6)________Q;(7)π________R;(8)0________∅.8．数集{2a，a2－a}中a的取值范围是__________．【提示】若集合为空集，则方程x2＋ax＋b＝0无实数解，即Δ0.－1或012132a2－4b0∈∉∈∉∈∉∈∉【提示】由集合中元素的互异性可得．a≠0且a≠3同步精练三、解答题9．用适当的方法表示下列集合．(1)小于10的所有质数组成的集合；(2)绝对值小于4的所有实数组成的集合；(3)方程3x－5＝1的解集；(4)用列举法表示集合A＝解：(1){2，3，5，7}．(2){x||x|4}．(3){2}．(4){0，4，6，7}．16,.8xxxNN同步精练10.已知集合A＝{1，a2＋1，a2－3a－2}，且－2∈A，求a的值．解：由题意可得a2－3a－2＝－2，∴a2－3a＝0，解得a＝0或a＝3.又∵当a＝0时，a2＋1＝1，与集合中元素的互异性矛盾，∴a＝0舍去；当a＝3时，a2＋1＝10，满足条件，故a＝3.同步精练11．用适当的方法表示下列集合．(1)直角坐标系中x轴上的所有点的集合；(2)直角坐标系中，第一，三象限内的所有点组成的集合；(3)所有奇数组成的集合．解：(1){(x，y)|y＝0}．(2){(x，y)|xy0}．(3){x|x＝2k＋1，k∈Z}．同步精练12．已知集合A＝{x|ax2＋4x＋4＝0}．(1)若A中至少有一个元素，求a的取值范围；(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．解：(1)若A中至少有一个元素，即A中有一个元素或A中有两个元素两类．当a＝0时，A＝{－1}，满足条件；当a≠0时，A中至少一个元素，即方程ax2＋4x＋4＝0有实根，∴16－16a≥0，∴a0或0a≤1，∴综上所述，a的取值范围为(－∞，1]．(2)同理有a＝0或a≥1，即a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．知识要点1．子集(1)概念：对于两个集合A与B，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B(或B包含A)”．(2)性质：①任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.②空集是任何一个集合A的子集，即∅⊆A.1.2集合之间的关系知识要点2．真子集(1)概念：对于两个集合A与B，如果A⊆B，且B中至少有一个元素不属于A，则称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B(或B真包含A)”．(2)性质：①空集是任何非空集合的真子集．②含n个元素的集合，有2n个子集，2n－1个真子集．非空真子集3．相等如果集合A与B的元素完全相同，那么称集合A等于集合B，记作A＝B.若A⊆B且B⊆A，则A＝B.典例解析【例1】下列关系中，正确的是()A．{0}＝∅B．∅∈{0}C．0∈∅D．∅{0}【思路点拨】{0}是只有一个元素0的集合，0是元素，∅是不含任何元素的集合．D变式训练1下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3B【提示】空集的子集是空集，故①错误；空集只有一个子集，还是空集，故②错误；空集是任何非空集合的真子集，故③错误．典例解析【例2】已知集合M＝{x|x1}，N＝{x|2≤x≤4}，则集合M，N的关系是()A．MNB．NMC．M＝ND．M⊆NB【思路点拨】在同一个数轴上作出两个集合的数轴表示，由定义知，集合N是M的真子集．变式训练2已知集合A＝{1，2}，B＝，若B⊆A，则实数k的值为()A．1或2B.C．1D．2D22k，12【提示】∵集合A＝{1，2}，B＝，B⊆A，∴由集合元素的互异性及子集的概念可知＝1，解得实数k＝2.22k，2k典例解析【例3】写出集合A＝{1，2，3}的所有子集，并指出哪些是真子集．【思路点拨】集合A中有3个元素，其子集可以是空集、含1个元素的集合、含2个元素的集合和含3个元素的集合．解：集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．除集合{1，2，3}外，其他集合都是集合A的真子集．典例解析变式训练3设集合A＝{x∈N|－2x2}的真子集的个数是()A．8B．7C．4D．3【提示】∵集合A＝{0，1}，∴集合A的真子集的个数是22－1＝3.D典例解析【例4】已知{0，1}⊆M{0，1，2，3，4}，则满足条件的集合M的个数为________个．7【思路点拨】由{0，1}⊆M知M中必有元素0，1，由M{0，1，2，3，4}知M中元素除0，1外，还必须在2，3，4三个元素中任取0个或1个或2个，即M可能是{0，1}，{0，1，2}，{0，1，3}，{0，1，4}，{0，1，2，3}，{0，1，2，4}，{0，1，3，4}．典例解析变式训练4设集合A＝{2，4}，B＝{a2，2}(其中a0)，若A＝B，则实数a＝________.－2【提示】∵A＝B，∴a2＝4，又a0，∴a＝－2.典例解析【例5】设集合A＝{x|1x3}，B＝{x|x－a0}，若AB，求实数a的取值范围．解：B＝{x|x－a0}＝{x|xa}，∵AB，∴a≥3.∴实数a的取值范围为[3，＋∞)．【思路点拨】先求出集合B，再根据条件AB进行解题．典例解析变式训练5已知集合M＝{x|x2＋px＋q＝0}＝{2}，求实数p，q的值．解：集合M＝{x|x2