边界层流动

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse薃第四章羂1.常压下温度为20℃的水以5m/s的流速流过一光滑平面表面，试求由层流边界层转变为湍流边界层的临界距离cx值的范围。薇解：0/()ccxxReu莄cxRe的范围：56210~310羃由物性数据表查得，常压下20℃水的物性3998.2kg/m，3100.510Pas莀∴cx的范围为：0.04～0.60m。莆2.流体在圆管中流动时，“流动已经充分发展”的含义是什么？在什么条件下会发生充分发展的层流，又在什么条件下会发生充分发展了的湍流？蒄答：当流体以均匀一致的流速在圆管中流动时，在管内壁周围形成边界层，且逐渐加厚，在离进口某一距离（Le）处，四周的边界层在管中心汇合，此后便占有管的全部截面，而边界层的厚度也维持不变，这时的流动称为充分发展了的流动。若边界层汇合时，流体的流动为层流，则管内的流动为充分发展了的层流；若边界层汇合时的流体已是湍流，则管内流动为充分发展了的湍流。莄在2000dRe，L＞Le的光滑管条件下，会发生充分发展了的层流；当10000dRe，LLe光滑管条件下会发生充分发展了的湍流。膂3.已知二维平面层流流动的速度分布为0(1)cyxuue，00(0)yyyuuu，式中c为常数。试证明该速度分布普兰德边界层方程（4-13）的正确解，并以流动参数表示c。荿解：由0(1)cyxuue，00(0)yyyuuu可知薄0xux，0yuy蒁∴0yxuuxy薀满足连续性方程。膈依题意，普兰德边界层方程左端为蚃右端为袂若两端相等，则常数c为节4.常压下温度为30℃的空气以10m/s的流速流过一光滑平板表面，设临界雷诺数53.210cxRe，试判断距离平板前缘0.4m及0.8m两处的边界层是层流边界层还是湍流边界层?求出层流边界层相应点处的边界层厚度。羇解：由物性数据表查得，30℃的物性31.165kg/m，51.8610Pas羇1x＝0.4m处，151050.4101.1652.505101.8610cxxxuReRe芃为层流边界层螀2x＝0.8m处，21522.9810cxxxReReRe羀为湍流边界层。肇5.20℃的水以0.1m/s的流速流过一长为3m、宽为1m的平板壁面。试求（1）距平板前缘0.1m位置处沿法向距壁面2mm点的流速xu、yu；（2）局部曳力系数DxC及平均曳力系数DC；（3）流体对平板壁面施加的总曳力。设5510cxRe。蚄已知水的动力粘度为5100.510Pas，密度为3998.2kg/m。蒂解：距平板前缘0.1m处的雷诺数为：蝿流动在层流边界层范围之内。膇（1）求y方向上距壁面2mm处的yxuu,肅已知0.1mx，0.002my,由式（4-15）得袀查表4-1，当1.993时蒈f=0.6457,f=0.625,f=0.260芇由式（4-25）得节由式（4-26）得蚁（2）局部曳力系数DxC及平均曳力系数DC芆（3）流体对平板壁面施加的总曳力莇6.20℃的水以1m/s的流速流过宽度为1m的光滑平板表面，试求：蚂（1）距离平板前缘x＝0.15m及x＝0.3m两点处的边界层的厚度；聿（2）x=0～0.3m一段平板表面上的总曳力。艿设5510cxRe。蒇解:由物性表查得，20℃的水的物性3998.2kg/m，5100.510Pas肃（1）1x＝0.15m：螁为层流边界层，由精确解得肈2x＝0.30m：蒇为层流边界层。蒄（2）1/531.3282.4310DLCRe艿7.空气在20℃情况下，以0.15m/s的速度流经一相距25mm的两平行光滑平板之间。求距离入口多远处两平板上的边界层相汇合。20℃的空气物性为31.205kg/m，51.8110Pas。袇解：暂按层流边界层计算，因汇合点处312.510mir，则由薆可得322051.2050.1512.510()()0.0624m5.01.81105.0ux薁核算雷诺数050.06240.151.2056231.8110xxuRe羁流动为层流，上述计算正确，即0.0624meLx。蚆8.不可压缩流体稳态流过平板壁面形成层流边界层，在边界层内速度分布为蚆式中，为边界层厚度，1/24.64xxRe。试求边界层内y方向速度分布的表达式yu。羂解：葿二维稳态层流的连续性方程为虿0yxuuxy（1）螆11330003333[()]444xuuxyuxyuyyxx（2）莃将式（2）代入式（1）积分，得膁9.常压下温度为20℃的空气以6m/s的流速流过平板表面，试求临界点处的边界层厚度、局部曳力系数以及在该点处通过单位宽度（b=1m）边界层截面的质量流率。蒈设5510cxRe。袆解：由物性数据表查得，20℃的空气的物性31.205kg/m，51.5110Pas薈10.如本题附图所示，不可压缩粘性流体以层流流过一平板壁面，设平板边界层外的来流速度为0u，板面上有连续分布的小孔，通过小孔吸气，使流体以速度uys（＝常数）沿小孔从平板壁面流出。试从普兰德边界层方程出发，证明这种吸允壁面的平板边界层的积分动量方程为膇证：普兰德边界层方程为羆对于平板壁面，/0px，故膅22xxxxyuuuuuxyy（1）莀连续性方程为芀0yuxuyx（2）肆式（1）可写成莁即222()xyxxuuuuxyy（3）肂将式（2）写成羈000yxuuuuxy（4）肆式（4）减去式（3）得螂将上式各项对变量y从0积分至，积分过程中要用的边界条件为螄习题10附图蒀0,0,xyysyuuu（常数）；螇因此2002000[()][()]xxxyxuuuudyuuudydyxyy（5）膆式中，左侧第二项积分为膃右侧积分为膂因此薆即芅证毕。薄11.20℃的水以2m/s的速度在平板上流动，试求离平板前缘0.2m、离板面垂直距离3110m处的流速。已知运动粘度621.00610m/s，5510cxRe。蚀解：0650.223.976101.00610cxxxuReRe为层流边界层蕿12.20℃、101.3kPa的空气以15m/s的速度在平壁上流动。在Rex＝1.0×105处，试求莅（1）边界层厚度；蚁（2）局部曳力系数与平均曳力系数；莂（3）壁面处的速度梯度；莈（4）速度分布。蒅已知6215.0610m/s，5510cxRe。肂解：袀∵cxxReRe,x在层流边界层内。肇（1）边界层厚度薅（2）局部曳力系数与平均曳力系数蒃（3）壁面处的速度梯度薂由2002DxxsyCduudy，移项得膀（4）速度分布薅13.常压下40℃的空气以12m/s的流速流过长度为0.15m、宽度为1m的光滑平板，试求算平板上、下两面总共承受的曳力。设5510cxRe。袄解：由物性数据表查得，40℃下空气的物性31.128kg/m，51.9110Pas罿为层流边界层。衿14.某粘性流体以速度0u稳态流过平板壁面形成层流边界层，在边界层内流体的剪应力不随y方向变化。蚅（1）试从适当边界条件出发，确定边界层内速度分布的表达式()xxuuy；芄（2）试从卡门边界层积分动量方程螁出发，确定x的表达式。蚇解：（1）由于边界层内xdudy不随y变化，xdudy为常数，速度分布为直线。设xuaby。边界条件为螅（1）0,0xyu；莁（2）0,xyuu腿由此可得边界层内速度分布为蒆（2）将边界层积分动量方程写成袅则12000001[(1)]6(1)sxxuudddddxdxudyuudx螂故有016dudx袁即06dudx葿边界条件为0,0x，积分上式得羄15.设平板层流边界层的速度分布为膃式中，()x是边界层厚度，0u是无穷远来流速度。试用边界层积分动量方程推导边界层厚度和平板阻力系数的计算式。荿解：边界层积分动量方程为芈故有00.1998dudx肄即00.1998dudx薄边界条件为0,0x，积分上式得肁16.某粘性流体以速度0u稳态流过平板壁面时形成层流边界层，已知在边界层内流体的速度分布可用下式描述肇（1）采用适当边界条件，确定上式中的待定系数,ab和c，并求速度分布的表达式；膄（2）试用边界层积分动量方程推导边界层厚度和平板阻力系数的计算式。羅解：（1）选择如下边界条件葿（1）0,0xyu；肀（2）0,xyuu；膄（3）,0xuyy膂代入得芁求解得0a；0bu；2c衿故02sin()xyuu芄（2）000()xxxyduduuudydxdy薃先将速度分布代入，求积分号内的项羂代入得薇移项得1/21/2000.6564.79DxxxCReuuxRe莄17.常压下283K的空气以0.5m/s的流速流入内径为20mm的圆管。试利用平板边界层厚度的计算式和公式（4-59）估算进口段长度，并对计算结果进行比较，分析其不同的原因。羃解：由物性表查得31.247kg/m，51.7710Pas莀3520100.51.2477051.7710duRe=为层流莆（1）按式（4-59）计算蒄（2）按平板层流边界层厚度式计算莄由1/25.0xxRe，当/2d时膂二者差别较大。其主要原因是：流体在圆管中流动时，由于流体的连续性，使得边界层外的流速加速，而不是已知保持进口处的速度0u。因此采用平板边界层的公式计算圆管进口段长度是不合适的。荿18.已知不可压缩流体在一很长的平板壁面上形成的层流边界层中，壁面上的速度梯度为0xyuky。设流动为稳态，试从普兰德边界层方程出发，证明壁面附近的速度分布可用下式表示薄式中，/px为沿板长方向的压力梯度，y为由壁面算起的距离坐标。蒁证：对于二维平板边界层，普兰德边界层方程为薀221yuxpyuuxuuxxyxx（1）膈由于板很长，可以认为蚃由连续性方程袂得0yuy节在平板壁面上，00yyu，因此由上式可知，在边界层内0yu。由此可将式（1）简化为羇上式左端是y的函数，右端是x的函数，二者要相等，必须使得羇221xupyx＝常数芃上式积分求解，得螀由题意，当0y时，xuky，故羀又当0y时，由壁面不滑脱条件，0xu，故肇因此，速度分布为蚄证毕。蝿19.如本题附图所示，不可压缩粘性流体沿半径为0r的无限长圆柱体表面作两维轴对称稳态流动，在柱面上形成层流边界层。设边界层外的来流速度0u为常数，不计质量力的影响，试从一般连续性方程和运动方程出发，证明该流动的层流边界层方程为膇及00[(]10)rzyruuzyry肅证：如本题附图所示，外部流动沿着z方向，且由于0u＝常数，故袀采用柱坐标系的方程，并考虑到边界层中的流动是二维轴对称，有蒈0u，0芇故相应的动量方程和连续性方程为节再利用“壁面坐标”，0yrr，dydr将坐标建立在壁面上，x轴沿着壁面且平行于圆柱体的轴线，y轴垂直于壁面。上述方程可改写为蚁及00[(]10)rzyruuyryz芆根据边界层内的几何特性，/1L(L为物体的特征尺寸)。显然，经量阶比较有莇因此，圆柱体上的轴对称层流边界层方程可简化为蒂习题19附图蚂及00[(]10)rzyruuzyry聿20.不可压缩流体以0u的速度流入宽为b