高一数学不等式恒成立问题

2x20axaRa若不等式在上恒成立，求的取值范围思考：分析：要使一元二次不等式的解集为R，即对应二次函数开口向上并且图像都在x轴及其上方。2(0)axbxca设f(x)则：0()000()00afxRafxR在上成立在上成立例1设函数f(x)＝(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围分析：二次项系数m是不确定的数，故应对m进行讨论21mxmx22(1)m10m0,-00m0-m040-4m0xmxRmmm要在上恒成立若显然1若得4综上：解：一化归为二次函数求最值问题(2)：原不等式即f(x)＋m－5＜0，即213()6024mxm，x∈[1,3]令213()()6024gxmxmx∈[1,3]，当m＞0时，g(x)是增函数，∴g(x)max＝g(3)，∴7m－6＜0，得m＜67.∴0＜m＜67.当m＝0时，－6＜0恒成立．当m＜0时，g(x)是减函数．[题后感悟](1)数形结合法解恒成立问题，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)①f(x)＞0在x∈R上恒成立⇔a＞0Δ＜0；②f(x)＜0在x∈R上恒成立⇔a＜0Δ＜0；③a＞0时，f(x)＜0在区间[α，β]上恒成立⇔fα＜0fβ＜0④a＜0时，f(x)＞0在区间[α，β]上恒成立⇔fα＞0fβ＞0练习122x1mmxmx关于的不等式(1+m)x对xR恒成立，求实数的取值范围22mx10xm0m0m0m0=m4(1)0mm0mxRmm解：原不等式等价于对恒成立当时显然成立当时，由题意得即综上：的取值范围为二参变量转变法2m443xmxxm对满足0的一切实数，不等式x恒成立，求的取值范围例2分析：题目中的主元是m,可把它转成关于m的一元一次不等式恒成立问题进行求解2222()(1)(43),4(1)(43)0(0)0430(4)0103x1xxxmxxmxmxxgxxgx解：令g由一次函数单调性知，当0时，要使恒成立，只需，即解得x或，所以满足条件的的取值范围是(-,-1)(3,+)练习22(1)2mxm若不等式2x-1对满足-2的所有m都成立，求x的取值范围22220()22x-300(2)022x-10171+3;22fmxffxx解：不等式可化为：(x-1)m-(2x-1)令(x-1)m-(2x-1)则由题意可得：(-2)即解得21............(*)||2*||2*xxxx1mm1301m2m课堂练习：对于不等式（）当≤，式恒成立，求实数的取值范围；（）当≤，式恒成立，求实数的取值范围。2,||2,xxxx1mm13（1）分析：令f()=≤2101,*[,]21  ()0:2(1)1xxf1mm2211m1m12m0②当时，即对称轴=，式在时恒成立的充要条件为：，解得。（）01*(*)1mmm1①当时，即，式成立，故适合21,*2[,]()()3()02xx1m0m1221m2m123m③当时，即对称轴=，式在时恒成立的充要条件为：f(-2)=，解得：13::112mm综上①②③可知适合条件的的范围是。22[2,2]xxxx（2）分析：令f(m)=（-+）m+(-+3),m22(2)33300(2)30fxxfxx则f(m)恒成立11311322x。课堂总结：确定不等式恒成立的参数的取值范围，是高考的热点。解答这类问题主要有四种方法：其一，利用一次函数的单调性；其二，利用二次函数的单调性；其三，利用数形结合法。布置作业：课时训练P40