极限的运算法则及计算方法

第二节极限的运算法则一．极限的四则运算法则定理lim(),lim(),(1)lim[()()];(2)lim[()()];()(3)lim,0.()fxAgxBfxgxABfxgxABfxABgxB设则其中推论1lim(),,lim[()]lim().fxccfxcfx如果存在而为常数则常数因子可以提到极限记号外面.lim(),,lim[()][lim()].nnfxnfxfx如果存在而是正整数则推论2lim(),lim()fxgx该法则成立的前提是：都存在23031023031lim(23)2lim(7sin4cos)3lim4lim(1)(5)lim(1)ln(10)xxxxxxxxxxxxex（）；（）；（）；（）；例1:求下列极限解:23lim(23)xxx2333limlim2lim3xxxxx2333(lim)2limlim3xxxxx232331802lim(7sin4cos)xxx（）007limsin4limcosxxxx7041403lim1xxe（）01limln(10)ln10xxex0limln(10)ln100xx334lim(1)112xx（）3333lim(1)28xx2(5)lim(1)1xx10102lim(1)11xx2(lim0)xx定理：初等函数在其定义区间内任一点的极限值等于函数值。二、计算有理分式极限的运算法则（1）计算有理分式在极限的运算0xx2222222122(1)lim;(2)lim;(3)lim322xxxxxxxxxxxx例2：求下列极限22(1)lim(21)11xxx解:2lim(3)10xx222111lim1131xxxx222(2)lim2xxxx因为分母的极限为0，而分子极限为8()()(),()PxPxQxQx设、都是多项式则称为有理分式222(3)lim2xxxx222lim(2)0,lim(2)0xxxxx所以极限的四则运算法则不能用22(2)(1)xxxx但是2222(2)(1)limlim22xxxxxxxx2lim(1)xx3从而可以总结出下列规律：0()(),PxQxx设、都是多项式为有限数，则当时，（代入即可）0()0Qx000()()lim()()xxPxPxQxQx=00()0,()0PxQx0()lim()xxPxQx=当时，00()0,()0PxQx0()lim()xxPxQx=当时，约去零因子0()xx后的有理分式的极限（分子分母都要分解因式）22221232252(1)lim;(2)lim54372xxxxxxxxxx例3：利用上面的规律求下列极限解:22132lim54xxxxx22(1)(1)13126,(1)15140PQ22(2)(2)225220,(2)327220PQ分子分母分解因式22252(21)(2),372(31)(2)xxxxxxxx2222252(21)(2)limlim372(31)(2)xxxxxxxxxx2(21)lim(31)xxx35（2）计算有理分式在极限的运算x222222142(1)lim;(2)lim;(3)lim5424xxxxxxxxxxx例4：求下列极限解:由于当时，分子分母均趋于无穷大，极限不存在x所以极限的四则运算法则不能用在分子分母中同时除以的最高次幂，可化为极限存在的情况x2222212221(1)limlim54541xxxxxxxxxx2002100222414(2)limlim122xxxxxxx222122(3)limlim441xxxxxxx0从而可以总结出下列规律：0,0,nmabmn当和为非负整数时有110110,,lim0,,,,nmnnnnmmxmmanmbaxaxanmbxbxbnm当当当()()PxQx设、分别是n次和m次多项式，则4345236221(1)(12)(1)lim;(2)lim54(13)(12)xxxxxxxxxx例5：利用以上规律求下列极限223(3)lim32xxxx432221(1)lim54xxxxx解:4536(1)(12)(2)lim(13)(12)xxxxx59369(2)lim(3)(2)xxx5361(2)(3)(2)311(3)(2)54223(3)lim32xxxx22(23)lim32xxxx22(23)lim32xxxx2221三、无穷小量的运算法则(1)非零无穷小量的倒数是无穷大量，反之亦然。(2)无穷小量与有界变量的乘积还是无穷小量。(3)有限个无穷小量之和还是无穷小量。例6：求下列极限0214(1)lim;(2)limsincosxxxx解:(1)0sin0xx时，为无穷小量01limsinxx(2)cos02xx时，为无穷小量24limcosxx001(1)lim(sin);(2)lim(1)cos;xxxxxex例7:求下列极限111(3)limlnsin;(4)limsin1xxxxxx解:(1)0sin0xx时，为无穷小量0lim(sin)0xxx(2)010xxe时，为无穷小量01lim(1)cos0xxex11,cosxx所以有界;(3)1ln0xx时，为无穷小量11limlnsin01xxx11,sin11xx所以有界1(4)0xx时，为无穷小量,1limsin0xxxsinx有界