近世代数--群的概念.ppt

§1.2群的概念群的定义群的性质群的判别一．群的定义定义1.2.1设是一个非空集合,若对中任意AA两个元素通过某个法则“”，有中惟一确定的,,abA则称法则“”为集合上的一个代数运元素与之对应,c算（algebraicoperation）．元素是通过运c,,ab算“”作用的结果,我们将此结果记为.abc例１有理数的加法、减法和乘法都是有理数集Q上的代数运算,除法不是Q上的代数运算．如果只考虑所有非零有理数的集合Q*,则除法是Q*上的代数运算.剩余类集．对，规定,Zmababab.ababm例２设为大于1的正整数，为的模mmZZ证我们只要证明,上面规定的运算与剩余类的代表元的选取无关即可．设',aa',bb则|',maa|'.mbb于是|(')(')()(''),maabbabab|(')(')'()('').maabbbaabab从而则“＋”与“”都是上的代数运算．mZ'',abab''.abab所以+与都是上的代数运算.Zm一个代数运算，即对所有的有如,,abG.abG果的运算还满足G(G1)结合律，即对所有的有；,,,abcG()();abcabc(G2)中有元素，使对每个，有GeaG定义1.2.2设是一个非空集合，“”是上的GG;eaaea(G3)对中每个元素，存在元素，使GbG.abbae．在不致引起混淆的情况下,也称为群．(,)GG（unitelement）或恒等元（identity）；注1．(G2)中的元素称为群的单位元eG(G3)中的元素称为的逆元（inverse）．ba则称关于运算“”构成一个群（group），记作G我们将证明：群的单位元和每个元素的逆元Ge都是惟一的．中元素的惟一的逆元通常记作．Gaa1（commutativegroup）或阿贝尔群（abeliangroup)．，有，则称是一个交换群,abGabbaG3．群中元素的个数称为群的阶（order），GG记为．如果是有||G||G限数,则称为有限群G2．如果群的运算还满足交换律，即对任意的G（finitegroup），否则称为无限群（infinitegroup).G例３整数集关于数的加法构成群．这个群Z称为整数加群．)(),(abcabc证对任意的，有，所以“＋”是上的一个代数运算．同时，对任意的,有,ZabZab,,ZabcZ所以结合律成立.另一方面，且有0ZZ,a,00aaa又对每个有Z,a()(),0aaaa从而关于“＋”构成群，显然这是一个交换群．Z所以0为的单位元.Z所以是的逆元.aa注1．当群的运算用加号“＋”表示时，通常将的单位元记作0，并称0为的零元；将GGaG的逆元记作,并称为的负元．aaa2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋”来表示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的结果叫做和，同时称这样的群为加群．相应地,将不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法，运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定群的运算是乘法．当然,所有关于乘群的结论对加群也成立（必要时,作一些相关的记号和术语上改变）．例４全体非零有理数的集合Q*关于数的乘法构成交换群,这个群的单位元是数1，非零有理数ab的逆元是的倒数．同理，全体非零实数的abba集R*、全体非零复数的集合关于数的乘法也．*C构成交换群．n例５实数域R上全体阶方阵的集合，(R)nM关于矩阵的加法构成一个交换群．全体阶可逆n方阵的集合关于矩阵的乘法构成群，(R)nGL(R)nGL群中的单位元是单位矩阵，可逆方阵nE(R)nAGL的逆元是的逆矩阵A.1A当时，是一个非交换群．1n(R)nGL例６集合关于数的乘法构成交换群{,,11i,i}{}nnUxxC|1关于数的乘法构成一个阶交换群．n证(1)对任意的，因为,,nxyU,11nnxy所以(),111nnnxyxy例７全体次单位根组成的集合n因此．于是“”是的代数运算．nxyUnUcossin,,,,kkknnn22i0121(3)由于，且对任意的，1nUnxUxxx11所以1为的单位元．nU(4)对任意的，有，且nxUnnxU1,nnnxxxxx111所以有逆元．xnx1的乘法也满足交换律和结合律．(2)因为数的乘法满足交换律和结合律，所以nU因此关于数的乘法构成一个群．通常称这个群为nU次单位根群，显然是一个具有个元素的交换群．nnnU例８设是大于1的正整数，则关于剩余mZm类的加法构成加群.这个群称为的模剩余类加群．Zm证(1)由例２知，剩余类的加法“＋”是的Zm代数运算．(2)对任意的，,,abcmZ()abc所以结合律成立．abc()abc()abcabc(),abc(3)对任意的,m,Zab,ababbaba所以交换律成立．(4)对任意的，mZa,00aaa且,00aaa所以0为的零元．Zm(5)对任意的,mZa,0aaaa且,0aaaa所以为的负元．aa从而知，关于剩余类的加法构成加群．□Zm例９设是大于1的正整数，记m(){(,)},|1mUmaZam则关于剩余类的乘法构成群．()Um证(1)对任意的，有,()abUm(,),1am(,),1bm于是，从而．(,)1abm()abUm(2)对任意的,,(),abcUm()()()(),abcabcabcabcabcabc所以剩余类的乘法“”是的代数运算．()Um所以结合律成立.(3)因为，从而，且对任意的(,)11m1mZ(),aUm,11aaa且,11aaa所以1是的单位元．()Um(4)对任意的，有，(),aUm(,)1am由整数的性质可知，存在，使,Zuv,1aumv所以，且()uUm(,),1um显然,|1(1auauaumvmmvuauaau因），所以为的逆元．ua从而知，的每个元素在()Um()Um中都可逆．这就证明了关于剩余类的乘法构成群．□()Um注(1)群称为的模单位群，显((),)UmZm然这是一个交换群．当为素数时，常记作.p()Up*pZ易知，*,,,Z121pp(2)由初等数论可知（参见[1]），的阶等于,()Um()m这里是欧拉函数．如果()m,srrrsmppp1212其中为的不同素因子，那么,,,sppp12m()()()()ssrrrrrrssmpppppp11221111122stimp111.例10具体写出中任意两个个元素的乘积以*5Z及每一个元素的逆元素．易知*{,.,}.51234Z直接计算，可得表1.2.1111212313414122224321423133231334432144243342441由表中很容易看出,111,123,132.144注观察表1.2.1，我们发现可以把表1.2.1表示为更加简单的形式（见表1.2.2）．表1.2.2123411234224133314244321形如表1.2.2的表通常称为群的乘法表（multiplicationtable），也称群表（grouptable）或凯莱表（Cayleytable）．人们常用群表来表述有限群的运算．如下表所示：ebeebaaab在一个群表中,表的左上角列出了群的运算符号（有时省略），表的最上面一行则依次列出群的所有元素（通常单位元列在最前面），表的最左列按同样的次序列出群的所有元素．表中的其余部分则是最左列的元素和最上面一行的元素的乘积．注意，在乘积中，左边的因子总是aba左列上的元素,右边的因子总是最上面一行的b元素．由群表很容易确定一个元素的逆元素．又如果一个群的群表是对称的，则可以肯定，这个群一定是交换群．二．群的性质定理1.2.1设为群，则有G(1)群的单位元是惟一的；G(2)群的每个元素的逆元是惟一的；G(3)对任意的，有；aG()11aa(4)对任意的，有；,abG()111abba(5)在群中消去律成立，即设，,,abcG如果，或，则．abacbacabc证(1)如果都是的单位元，则,12eeG（因为是的单位元），122eee1eG因此,2121eeee所以单位元是惟一的．(2)设都是的逆元，则,bcaG（因为是的单位元），2eG121eee,abbae.accae于是()().ccecabcabebb所以的逆元是惟一的．a(3)因为是的逆元，所以1aa.11aaaae从而由逆元的定义知，是的逆元．又由逆元的aa1惟一性得().11aa(4)直接计算可得()()(),abbaabbaaeaaae111111及()()(),baabbaabbebbbe111111从而由逆元的惟一性得().abba111(5)如果，则abac()()()().bebaabaabaacaacecc1111同理可证另一消去律．□定理1.2.2设是群，那么对任意的，G,abG方程及axbyab在中都有惟一解．G证取，则1xab()().11aabaabebb所以方程有解axb.1xab又如为方程的任一解，即则xcaxb,acb()().111ceaaacaacab这就证明了惟一性．同理可证另一方程也有惟一解．□指数与指数法则积与运算的顺序无关，因此可以简单地写成.abc群的定义中的结合律表明，群中三个元素的乘,,abc进一步可知，在群中，任意个元素Gk,,,kaaa12的乘积与运算的顺序无关，因此可以写成.kaaa12据此,我们可以定义群的元素的方幂对任意的正整数，定义nnnaaaaa个再约定（为正整数）ae0，()nnaa1，n则对任意整数都有意义，并且不难证明：na对任意的有下列的指数法则aG，,mnZ，(1)；nmnmaaa(2)()nmnmaa；(3)如果是交换群，则G()nnnabab（如果不是交换群，一般不成立）．G当是加群时,元素的方幂则应改写为倍数G,()().nanaaaaanana00个，相应地,指数法则变为倍数法则：(1)()namanma；(2)()()mnamna；(3)()nabnanb（因为加群是交换群，所以（3）对加群总是成立的）．定理1.2.3设是一个具有代数运算的非空G集合，则关于所给的运算构成群的充分必要条件是G三．群的判别(1)的运算满足结合律；G(2)中有一个元素（称为的左单位元）,使对GeG任意的有aG，eaa；(3)对的每一个元素，存在（称为的Ga'aGa左逆元），使．这里是的左单位元．'aaeeG证必要性由群的定义，这是显然的．充分性只需证:是的单位元,，是的．eG'aa逆元即可．设由条件(3)知，存在使,aG',aG'.aae而对于也存在使',aG'',aG'''.aae于是'(')(''')(')''(')'''''''.aaeaaaaaaaaaaaeaaae且(')(')aeaaaaaaeaa进而由条件（1）知，为群．□G由条件(2)及式(3)知，是的单位元．是的逆元，e'aaG注这个定理说明，一个具有乘法运算的非空集合，只要满足结合律，有左单位元，每个元素G有左逆元，就构成一个群．同理可证，一个具有乘法运算的非空集合，如G果满足结合律，有右单位元，且中每个元素有G右逆