理论力学(第10章)

第10章动能定理第10章动能定理理论力学第10章动能定理10.4动力学普遍定理10.1力的功10.2动能及其计算第10章动能定理10.3动能定理动力学第10章动能定理10.1力的功10.1.1常力的功质点M在常力F的作用下，沿直线从M1运动到M2，其位移为s。则此力F在位移方向的投影Fcos与其位移的乘积，定义为力F在路程s中所做的功，记为W。即其中Fcosθ为力F在运动方向上的投影，可正可负。可见力的功是代数量。功的基本单位在国际单位制中采用J，即1J=1N·mW＝Fcoss第10章动能定理质点M在变力F作用下沿图示空间曲线运动,将曲线A1A2分成许多微小弧段，视每个元弧段ds(即元路程)为直线段，而力F则视为常力，应用常力的功的计算式，则力F在元路程ds中的功，称为力F的元功。即式中是力F与速度v间的可变夹角。由于元路程ds对应于位移的大小|dr|=|v|dt，故上式可以改写成1.元功的定义10.1.2变力的功10.1力的功W=FcosdsrFrddcosδFW第10章动能定理2.元功的解析表示式3.变力在曲线路程中的总功11.2力的功rFrddcosδFWzFyFxFWzyxdddδ)ddd(2112zFyFxFWzyxMM4.合力的功式中，Fx、Fy、Fz分别为力F在直角坐标轴x、y、z上的投影。iFWWR合力FR在任一路程上所作功，等于各个分力在同一路程中所作功的代数和。第10章动能定理1.重力的功如图所示，质量为m的质点M沿曲线从位置Ml运动到位置M2。因为Fx=Fy=0、Fz=mg，则重力所作功为：10.1.3常见力的功10.1力的功)(d)(211221zzmgzmgWMM上式表明，重力所作的功，等于重力与其重心的始末位置高差之乘积。可见，重力所作功仅与其重心的始末位置高差有关，而与重心的运动路径无关——重力为有势力。并且：z1z20，W0;z1z20，W0第10章动能定理2.弹性力的功10.1力的功弹簧原长l0，刚度系数k，如图所示。计算M由M1M2过程中弹力所做功。)(2d)(d)(2221122121kxkxxkxWMM此式表明，弹性力的功也是与质点的运动路径无关，而只取决于弹簧在始末位置的变形量（伸长或缩短）。因此，弹性力亦为有势力。第10章动能定理10.1力的功3.转动刚体上力(力矩)的功一刚体在力F作用下绕z轴转过d角，其作用点M走过的路程为ds，则元功为－力F对轴z的矩MddδttrFsFWzzMmrF)(tFdδzMW所以所以,当转动刚体在力F作用下，由1位置运动到2位置时，力F所作的功为而21d12zMW第10章动能定理若力矩是常量，则力在上述过程中的总功为W12=Mz(21)21dz12MW有结论作用于定轴转动刚体上的力的功，等于该力对转轴的矩与刚体微小转角的乘积的积分。10.1力的功3.转动刚体上力(力矩)的功M第10章动能定理4.质点系内力的功内力虽然等值而反向，但做功之和并不等于零。例如，由两个相互吸引的质点A和B组成的质点系，两质点间的相互作用的力F、F是一对内力，两质点位移的元位移drA、drB如图所示。则内力F和F的元功之和为：10.1力的功0)(d)(dddδBrrWBABAAFrrFFF可见，质点系内力所作功的总和不一定等于零。但是,刚体内任意两点间的距离始终保持不变，所以刚体内力所作功的总和恒等于零。第10章动能定理10.1力的功5．摩擦力的功当刚体与接触面之间有相对滑动时，摩擦力是作功的。一般情况下摩擦力方向与物体的运动方向相反，这时摩擦力作负功（摩擦力有时也作正功），其大小等于摩擦力与其滑动距离的乘积。请注意，摩擦力的功与物体的运动路径有关。然而，如果摩擦力作用点没有位移，尽管有静滑动摩擦力存在，但静滑动摩擦力不作功(例如物体沿固定面作纯滚动的情形)。10.1.3常见力的功第10章动能定理6.理想约束反力的功光滑的固定支承面(图a)，轴承，销钉(图b)和活动支座(图c)的约束力总是和它作用点的元位移dr垂直，所以这些约束力的功恒等于零。FAdrFAdrFAdr(a)(b)(c)（1）光滑的固定面、轴承、销钉和活动铰支座10.1力的功理想约束——约束力不作功或作功之和等于零。例如：第10章动能定理10.1力的功7.功率的概念表示力做功的快慢是功率。通常用力在单位时间内所做的功定义为力的功率，记为P。vFtWPdδ当作用于转动刚体上的力矩为Mz，则其功率为zzMtMPdd单位：瓦特，简称瓦(W)。lW=1J／s=1N·m／s=1kg·m2／s3。工程上还采用马力作为功率的单位，即1马力=735.5W。第10章动能定理10.2动能及其计算即：质点的质量与其速度平方乘积的一半称为质点的动能。设质点的质量为m，速度为v，则该质点的动能动能是物体机械运动的一种度量，恒为正值的标量。10.2.1质点的动能221mvT质点系的动能等于系统内所有质点动能的总和，用符号T表示，则有国际单位制中，动能的常用单位是kg·m2/s2，即J(焦耳)。10.2.2质点系的动能221iivmT第10章动能定理1.平移刚体的动能平动刚体各点的速度和质心速度vC相同，M表刚体质量，则其动能平移刚体的动能，等于刚体的质量与质心速度平方乘积的一半。10.2.3刚体的动能即221iivmT质点系的动能10.2动能及其计算222221)(212121CCiCiiiMvvmvmvmT式中imM第10章动能定理2.定轴转动刚体的动能设刚体以角速度绕定轴z转动，以mi表示刚体内任一点I的质量，以ri表示点I的转动半径，则该刚体的动能为其中∑mr2=Jz是刚体对转轴z的转动惯量。可见，定轴转动刚体的动能，等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半。转动惯量Jz就是刚体绕z轴转动时惯性的度量。(b)ωIvzriO10.2动能及其计算222221)(21)(21ziiiiJrmωrmT第10章动能定理3.平面运动刚体的动能平面运动刚体的角速度是，速度瞬心在P点，刚体对瞬轴的转动惯量是JP。则该刚体的动能为2CCPrmJJ221PJT式中JC是对平行于瞬轴的质心轴的转动惯量。根据转动惯量的平行轴定理有CvCPrc10.2动能及其计算第10章动能定理因为质心C的速度大小vC=rC。由上式得2CCPrmJJ即,平面运动刚体的动能,等于它以质心速度作平动时的动能与相对于质心轴转动时的动能之和。22)(21CCrmJTCvCPrc10.2动能及其计算3.平面运动刚体的动能222121CCJmvT第10章动能定理10.2动能及其计算例10-1求例9-6所示系统的动能，系统如图所示。解：1.运动分析2.动能计算轮A：定轴转动，物块C：平移，轮B：平面运动2322222211212121211vmvmJJTTTTOCBA1225.05.01RRrvvO因为：所以：23222121vmmrJJT第10章动能定理10.2动能及其计算例10-2图示曲柄连杆机构，OA=r，AB=2r，OA、AB及滑块B质量均为m，曲柄以ω的角速度绕O轴转动，C为连杆AB的质心。试计算图示瞬时系统的动能。解：222212121BCOBABOAmvmvJTTTTrvvvCBA，系统的动能为：代入运动学关系2267mrT第10章动能定理10.3动能定理设质量为m的质点M，在力作用下F沿曲线由M1运动到M2，它的速度由v1变为v2。两边点乘速度v得mv·dv=F·vdtFvatmmdd10.3.1质点动能定理1.微分形式由牛顿第二定理tmddFv第10章动能定理即，质点动能的微分等于作用于质点上的力的元功——质点动能定理的微分形式。将上式沿路程A1A2积分，得上式右端就是作用力的元功，左端可改写成mv·dv=md(v·v)/2=d(mv2/2)，从而得Wmvδ)21d(2mv·dv=F·dr式中W12表示力F在路程A1A2中的功。可见，质点动能在某一路程中的改变量，等于作用于质点的各力在该路程中所作的功—质点动能定理的积分形式。1221222121Wmvmv2.积分形式10.3动能定理第10章动能定理即，质点系动能的微分等于作用于质点系所有外力元功和内力元功的代数和—质点系动能定理的微分形式。对于质点系中的每个质点，都有类似上式，相加得因故上式可写成Tmvmvd)2(d)2d(22由质点动能定理的微分形式1.微分形式10.3.2质点系动能定理10.3动能定理)()e(2δδ)21d(iiiiWWvmi)()e(2δδ)21d(iiiiWWvmi)i()e(δδdWWT第10章动能定理式中T1，T2分别代表某一运动过程中开始和终了时质点系的动能。上式表明质点系的动能在某一路程中的改变量,等于作用于质点系上所有内、外力在该路程中的功的代数和—质点系动能定理的积分形式。将上式积分，得2.积分形式10.3动能定理10.3.2质点系动能定理由微分形式)i()e(δδdWWT)i(12)(e1212WWTT第10章动能定理对于理想约束刚体系统，则有：2.积分形式10.3动能定理10.3.2质点系动能定理)i(12)(e1212WWTT主WTT12式中W主表示作用在质点系上所有主动力做功的代数和。第10章动能定理1.势能10.3动能定理10.3.3机械能守恒定理为度量一质点系（质点）在不同位置上有势力作功的能力，可选择一基准点MO（势能为零,称为零势点），质点系（质点）从任意位置M运动到基准点MO有势力所作的功，称为质点系（质点）在该位置的势能。即)ddd(d00MMzyxMMzFyFxFVrF2.机械能守恒定理受理想约束的质点系在运动过程中，若作功的力为有势力时，质点系的机械能守恒。即T2+V2=T1+V1=常量第10章动能定理10.3动能定理例10-3在图示机构中，已知：匀质圆盘A的半径为r，沿水平面作纯滚动，匀质细杆AB长为L（C为杆AB的中点），圆盘、杆及滑块B质量均为m，。试求杆AB自水平位置无初速地滑到与铅垂线成=45时，圆盘中心A的速度。第10章动能定理10.3动能定理解：1.取圆盘、杆AB及滑块B组成的理想约束系统为研究对象，受力如图。2.运动分析并计算动能22222A22B21219)45cos()2(1221212121AAAmvLvLmmLmvJmvT轮T1=03．计算主动力做功mgLLmgmgLW42345cos245cos主第10章动能定理10.3动能定理解：221219AmvTmgLW423主T1=04.应用动能定理主WTT12得：gLLgvA818.01929第10章动能定理10.3动能定理例10-4跨过定滑轮的绳索，两端分别系在质量均为m的滑块A和B上，滑块B置于倾角为的光滑斜面上，并与刚度系数为k的弹簧连接，弹簧的另一端与固定面相连，如图所示。滑轮视为质量为m的均质圆盘。绳索与滑轮无相对滑动。初始时，系统静止，弹簧无变形。试求弹簧被拉长s时，滑块A的速度和加速度。第10章动能定理10.3动能定理1.选滑轮和两个滑块组成的系统为研究对象，受力如图所示。2.运动分析并计算系统动能222222B22A245))(21(212121212121smrsmrsmsmvmJvmTBAT1=03．计算主动力做功2221)sin1(21sinksmgsksgsmgsmWBA主解：第10章动能定理10.3动能定理解：2245smTT1=0221)sin1(ksmgsW主4.应用动能定理主WTT1