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§8-4方差分量估计第1页共3页2008-2-822:36§8-4方差分量估计2学时我们知道，平差前观测值向量的方差阵一般是未知的，因此平差时随机模型都是使用观测值向量的权阵。而权的确定往往都是采用经验定权，也称为随机模型的验前估计，对于同类观测值可按第一章介绍的常用定权方法定权；对于不同类的观测值，就很难合理地确定各类观测值的权。为了合理地确定不同类观测值的权，可以根据验前估计权进行预平差，用平差后得到的观测值改正数来估计观测值的方差，根据方差的估计值重新进行定权，以改善第一次平差时权的初始值，再依据重新确定的观测值的权再次进行平差，如此重复，直到不同类观测值的权趋于合理，这种平差方法称为验后方差分量估计。此概念昀早由赫尔默特（F.R.Helmert）在1924年提出，所以又称为赫尔默特方差分量估计。一、赫尔默特方差分量估计公式为推导公式简便起见，设观测值由两类不同的观测量组成，不同类观测值之间认为互不相关，按间接平差时的数学模型为（函数模型）（8-4-1）（随机模型）（8-4-2）其误差方程为权阵（8-4-3）权阵（8-4-4）作整体平差时，法方程为（8-4-5）式中一般情况下，由于第一次给定的权、是不恰当的，或者说它们对应的单位权方差是不相等的，设为和，则有（8-4-6）但只有才认为定权合理。方差分量估计的目的就是根据事先初定的权、进行预平差，然后利用平差后两类观测值的、来求估计量，再根据（8-4-6）式求出，由这个方差估值再重新定权，再平差，直到为止。为此需要建立、与估计量之间的关系式。由数理统计知识可知，若有服从任一分布的q维随机变量，已知其数学期望为，方差阵为，则§8-4方差分量估计第2页共3页2008-2-822:36向量的任一二次型的数学期望可以表达为：（8-4-7）式中为任意q阶的对称可逆阵。现用向量代替上式中的向量，则其中的应换为，应换为，阵可以换成权阵，于是有（8-4-8）前面已经证明，于是有：（8-4-9）而对上式应用协因数传播律得将代入上式，整理后得将上式代入（8-4-9）式，得顾及矩阵迹的性质，上式可写为同理可得去掉上面两式的期望符号，相应的单位权方差也改用估值符号表示，整理顺序后得（8-4-10）（8-4-11）其矩阵形式可写为（8-4-12）（8-4-13）式中（8-4-12）、（8-4-13）两式即为赫尔默特方差分量估计的严密公式。由此式可以求得两类观测值的单位权方差估值，从而可以根据（8-4-6）式求得观测值方差的估值，以此方差估值再次定权，再次平差，直至满足要求§8-4方差分量估计第3页共3页2008-2-822:36为止。现将以上推导扩展至m组观测值。误差方程为令则得参数的估值为按照上述类似的推导，则有去掉期望符号，相应的单位权方差也改为用估值符号，则有（8-4-14）式中二、计算步骤1.将观测值分类，并进行验前权估计，即确定各类观测值的权的初值；2.进行第一次平差，求得；3.按（8-4-14）式求各类观测值单位权方差估值；4.按（8-4-6）式计算各类观测值方差的估值；5.依据定权公式再次定权，再次平差，如此反复，直到各类单位权方差的估值相等或接近相等为止。作业：习题集：8.1～8.4，8.8 联系电话：0351-6014472地址：山西太原理工大学矿业工程学院昀佳浏览环境：IE6.0以上1024*768求实笃学敬业创新