广东省深圳市2016届高三第二次调研考试数学(理)

第1页共16页2016年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）1．复数z满足(1i)1iz（i为虚数单位），则z（）A．2B．22C．2D．1【答案】D【解析】1i1i11i1iz．2．设,AB是两个集合，则“xA”是“xAB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B3．若1cos()23，则cos(2)（）A．429B．429C．79D．79【答案】C【解析】∵1cos()23，∴1sin3．∴27cos(2)cos22sin19．4．若,xy满足约束条件10,10,410.xyxxy则目标函数13yzx的最大值为（）A．14B．23C．32D．2【答案】C【解析】目标函数13yx表示为可行域内的点(,)xy和点(3,1)连线的直线的斜率，由图可知：当其经过点(1,5)A时，直线的斜率最大，即max15133132yzx．A(1,5)11xOyP(3,-1)第2页共16页5．如图所示的流程图中,若输入,,abc的值分别是2,4,5，则输出的x（）A．1B．2C．lg2D．10【答案】A【解析】由题意可知abc，∴lg2lg51x．6．已知函数()fx的图象是由函数()cosgxx的图象经过如下变换得到：先将()gx的图象向右平移3个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变．则函数()fx的一条对称轴方程为（）A．6xB．512xC．3xD．712x【答案】D【解析】cosyx3向右个单位所有点的纵坐标不变cos()3yx横坐标变为原来的一半纵坐标不变cos(2)3yx．∴()cos(2)3fxx．对称轴方程为2,3xkkZ，即1,26xkkZ，故选A．否否是输出x结束是x=lga+lgcx=lgblgax=lga∙lgbbcab且ac开始a,b,c输入第3页共16页7．以直线3yx为渐近线的双曲线的离心率为为（）A．2B．233C．2或233D．3【答案】C【解析】∵双曲线的渐近线方程为3yx，∴3ba，或3ab．∴224ca，或2243ca．∴2e，或233e．8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（）A．310B．35C．25D．15【答案】B【解析】2222322355()35CAAAPA．9．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若ACAMBN，则（）A．2B．83C．65D．85【答案】D【解析】∵ACAMBN()()ABBMBCCN11()()22ABADADAB11()()22ABAD,∴112112，解得6525，85．10．已知函数ln,0,()ln(),0.xxxfxxxx则关于m的不等式11()ln22fm的解集为（）A.1(0,)2B．(0,2)C．11(,0)(0,)22D．(2,0)(0,2)【答案】C【解析】函数()fx的定义域(,0)(0,)关于原点对称，∵0x时，0x，()ln()fxxxfx，同理：()()fxfx，∴()fx为偶函数．NADCMB第4页共16页∵()fx在(0,)上为减函数，且1(2)ln22ln22f，∴当0m时，由11()ln22fm，得1()(2)ffm，∴12m，解得102m．根据偶函数的性质知当0m时，得102m．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A．48B．16C．32D．165【答案】D【解析】该几何体的直观图，如图：42585S，655h，∴11685516335VSh．12．设定义在(0,)上的函数()fx满足()()lnxfxfxxx，11()fee，则()fx（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值【答案】D【解析】()fx的定义域为(0,)，∵()()lnxfxfxxx，∴2()()lnxfxfxxxx，∴()ln()fxxxx，∴2()1ln2fxxcx，∴21()ln2fxxxcx．∵211111()ln2fceeeee，∴12c．∴22111()lnln(ln1)0222fxxxx，∴()fx在(0,)上单调递增，∴()fx在(0,)上既无极大值也无极小值．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分ADCBP第5页共16页13．高为，体积为2的圆柱的侧面展开图的周长为．【答案】6【解析】∵2222Vrhr，∴1r，∴侧面展开图的周长为2(2)6r．14．过点(3,1)P的直线l与圆22:(2)(2)4Cxy相交于,AB两点，当弦AB的长取最小值时，直线l的倾斜角等于．【答案】4【解析】∵AB的长取最小值时，AB垂直于PC，∴1ABPCkk，即(1)1ABk，∴1ABk，直线l的倾斜角等于4．15．在1020161(2)xx展开式中，4x项的系数为____________．(结果用数值表示)【答案】180【解析】含有4x项为228048201612()()180Cxxx．另解：10102016201611(2)[2(]xxxx，∴通项10110201612()rrrrTCxx，20161()rxx的通项11()(4033)2016221(1)(1)rkrkkkkkkkrrTCxxCx∴1(4033)42010rkr，∴8r．∴4x项的系数为82102180C．16．如图，在凸四边形ABCD中，1AB，3BC，ACCD，ACCD．当ABC变化时，对角线BD的最大值为_________．【答案】D【解析】设ACCDx，在ABC中，2222cosACABBCABBCABC，∴21323cosxABC，∵sinsinACABABCACB,∴sinsinABCACBx．在BCD中，22323cos()2BDxxACB22323sinxxACB，31323cos23sinABCABC726sin()4ABC，ABCD第6页共16页∵(0,)ABC，∴sin()4ABC可以取到最大值1，∴max72661BD．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设数列{}na的前n项和为nS，na是nS和1的等差中项．（1）求数列{}na的通项公式；（2）求数列{}nna的前n项和nT．【解析】（1）由题意得：12nnSa，①当2n时，112(1)nnSa，②①-②得122nnnaaa，即12nnaa，∴12nnaa．由①式中令1n，可得11a，∴数列{}na是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12nna．（2）由12nnnabn得112233nnnTabababab01211222322nn12312122232(1)22nnnTnn第7页共16页01211222222221212nnnnnnnTnnn∴(1)21nnTn．18．(本小题满分12分)某市在以对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．(1)某校高一年级有男生500人，女生4000人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取了45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如下表：等级优秀合格不合格男生（人）15x5女生（人）153y根据表中统计的数据填写下面22列联表，并判断是否有90%的把握认为“综合素质评介测评结果为优秀与性别有关”？男生女生总计优秀非优秀总计（2）以（１）中抽取的45名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．（i）求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；（ii）记X表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X的数学期望．参考公式：22()()()()()nadbcKabcdacbd，其中nabcd．临界值表：20()PKk0.150.100.050.0250.0100k2.0722.7063.8415.0246.635【解析】（1）设从高一年级男生中抽出m人，则45,25500500400mm．∴25205,20182xy第8页共16页男生女生总计优秀151530非优秀10515总计252045而245(1551015)91.1252.706301525208k∴没有90%的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”．（2）（i）由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为15152453，∴从该市高一学生中随机抽取1名学生，该生为“优秀”的概率为23．记“所选3名学和g中恰有2人综合素质评价‘优秀’学生”为事件A，则事件A发生的概率为：223224()()(1)339PAC；（ii）由题意知，随机变量2~(3,)3XB，∴随机变量X的数学期望2()323EX．19．(本小题满分12分)在三棱柱111ABCABC中，CACB，侧面11ABBA是边长为2的正方体．点,EF分别在线段111,AAAB上，且113,,24AEAFCEEF．（1）证明：平面11ABBA平面ABC；（2）若CACB，求直线1AC与平面CEF所成角的正弦值．【解析】（1）取线段AB中点M，连接EM，在正方体11ABBA中，131,2AMAE，在RtEAM和1RtFAE中，1123AEAMAFAE，又12EAMFAE，∴1RtEAMRtFAE∼，∴1AEMAFE，从而1112AEMAEFAFEAEF，∴2FEM，即EFEM．又,EFCEMECEE，∴EF平面CEM，∵CM平面CEM，∴CMEF，在等腰三角形CAB中，CMAB，又AB与EF相交，知CM平面1AB，∵CM平面ABC，∴平面11ABBA平面ABC；ACBA1B1C1FExyzMEFC1B1A1BCA第9页共16页（2）在等腰三角形CAB中，由,2CACBAB知2CACB，且1CM，记线段11AB中点为N，连接MN，由（1）知，,,MCMAMN两两互相垂直，以M为坐标原点，分别以,,MCMAMN为正交基底建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，则111(1,0,0),(0,1,),(0,,2),(0,1,0),(1,0,2)24CEFAC，设平面CEF的法向量为(,,)xyzn，则,CEEFnn，即102202332042xyzxyzyzyz，取2z，则4,5yx，从而得到平面CEF的一个法向量(5,4,2)n．1(1,1,2)AC，记直线1AC与平面CEF所成角为，则111|||544|30sin|cos,|18||||456ACACAC