广东深圳市2017届高三第二次调研考试数学理试题

深圳市2017年高三年级第二次调研考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合2|20,|2AxxxBxx，则（）A．ABB．ABAC．ABAD．ABB2.已知复数z满足13izi，i为虚数单位，则z等于（）A．1iB．1iC．1122iD．1122i3.下列函数中，既是偶函数又在0,1上单调递增的是（）A．cosyxB．yxC．2xyD．lgyx4.设实数0,1a，则函数22211fxxaxa有零点的概率为（）A．34B．23C.13D．145.某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是（）A．18B．24C.36D．426.在平面直角坐标系中，直线2yx与圆22:1Oxy交于AB、两点，、的始边是x轴的非负半轴，终边分别在射线OA和OB上，则tan的值为（）A．22B．2C.0D．227.已知函数22sin,,123fxxx的图象如图所示，若12fxfx，且12xx，则12fxx的值为（）A．0B．1C.2D．38.过双曲线222210,0xyabab的左、右焦点分别作它的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为（）A．yxB．2yxC.3yxD．2yx9.一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．36B．48C.64D．7210.执行如图所示的程序框图，若输入10n，则输出k的值为（）A．7B．6C.5D．411.设椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点分别为12FF、，其焦距为2c，点,2aQc在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且1125PFPQFF恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（）A．12,52B．12,42C.12,32D．22,5212.设实数0，若对任意的0,x，不等式ln0xxe恒成立，则的最小值为（）A．1eB．12eC.2eD．3e第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量,1ax与向量9,bx的夹角为，则x．14.若函数1mfxxx（m为大于0的常数）在1,上的最小值为3，则实数m的值为．15.已知,MN分别为长方体1111ABCDABCD的棱11,ABAB的中点，若22AB，12ADAA，则四面体1CDMN的外接球的表面积为．16.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即ABC的面积222222142acbSac，其中abc、、分别为ABC内角ABC、、的对边.若2b，且3sintan13cosBCB，则ABC的面积S的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.数列na是公差为0dd的等差数列，nS为其前n项和，125,,aaa成等比数列.（1）证明：139,,SSS成等比数列；（2）设121,nnaba，求数列nb的前n项和nT.18.如图，在三棱柱111ABCABC中，D为BC的中点，00190,60BACAAC，12ABACAA.（1）求证：1//AB平面1ADC；（2）当14BC时，求直线1BC与平面1ADC所成角的正弦值.19.随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的拆线图.（1）由拆线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系．求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份（即7x时）的市场占有率；（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的AB、两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同.考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：车型报废年限1年2年3年4年总计A20353510100B10304020100经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率.如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？（参考公式：回归直线方程为ˆˆˆybxa，其中121ˆˆ,niiiniixxyybaybxxx）20.平面直角坐标系中，动圆C与圆22114xy外切，且与直线12x相切，记圆心C的轨迹为曲线T.（1）求曲线T的方程；（2）设过定点,0Qm（m为非零常数）的动直线l与曲线T交于AB、两点，问：在曲线T上是否存在点P（与AB、两点相异），当直线PAPB、的斜率存在时，直线PAPB、的斜率之和为定值.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数222xafxxex，其中,aRe为自然对数的底数.（1）函数fx的图象能否与x轴相切？若能与x轴相切，求实数a的值；否则，请说明理由；（2）若函数2yfxx在R上单调递增，求实数a能取到的最大整数值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，点3,3,62AB、，直线l平行于直线AB，且将封闭曲线:2cos03C所围成的面积平分，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系.（1）在直角坐标系中，求曲线C及直线l的参数方程；（2）设点M为曲线C上的动点，求22MAMB的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数222412,241fxxaxagxxxx.（1）若22141faa，求实数a的取值范围；（2）若存在实数,xy，使0fxgy，求实数a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BACDD6-10:ABABC11、12：BA二、填空题13.-314.115.1316.3三、解答题17.解：（1）由题意有2215aaa，即21114adaad，解得12da，又11311911,339,93681SaSadaSada，即2319SSS，又∵139,,SSS均不为零，所以139,,SSS成等比数列.（2）23232222221221221221nnnTaaaa2322222224nnnn18.（1）证明：连结1AC与1AC相交于点E，连结ED.∵,DE为中点，∴1//ABED，又∵1AB平面1,ADCED平面1ADC，∴1//AB平面1ADC.（2）∵112,23,4ABACBC，∴22211ABACBC，∴1BAAC，又∵1,,BAACACACAAC平面111,AACCAC平面11AACC，∴BA平面11AACC，∴平面11AACC平面ABC.如图，过A在平面11AACC内作AZAC，垂足为A．∵平面11AACC平面ABC，平面11AACC平面ABCBC，∴AZ平面ABC．以点A为原点，,,ABACAZ的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，得下列坐标：1110,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,3,0,3,3,2,1,3ABCDACB．设平面1ADC的一个法向量,,1mxy，则100mADmAC，∴0330xyy，解之得3333xy．∴33,,133m．又∵12,1,3BC．∴111310cos,10BCmBCmBCm，所以直线1BC与平面1ADC所成角的正弦值为31010．19.解：（1）由折线图中所给的数据计算可得1234563.56x，111316152021166y∴2222222.551.530.500.511.542.5535ˆ217.52.51.50.50.51.52.5b．∴ˆ1623.59a．∴月度市场占有率y与月份序号x之间的线性回归方程为ˆ29yx．当7x时，ˆ27923y．故M公司2017年4月份的市场占有率预计为23%．（2）由频率估计概率，每辆A款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2、0.35、0.35和0.1，∴每辆A款车可产生的利润期望值为150010000.2100010000.35150010000.35200010000.1175E（元）．由频率估计概率，每辆B款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2，∴每辆B款车可产生的利润期望值为：250012000.1100012000.3150012000.4200012000.2150E（元），∵12EE，∴应该采购A款单车．20.解：（1）不妨设动圆C的圆心为00,xy，易知圆22114xy的圆心为1,0，半径为12，∵动圆C与圆22114xy外切，且与直线12x相切，∴圆心C在直线12x的右侧，且点C到点1,0的距离比点C到直线12x的距离大12，即012x，且2200011122xxy，∴2200011xxy，两边平方并化简整理得2004yx，即曲线T的轨迹方程为24yx．（2）假设在曲线T上存在点P满足题设条件，不妨设001122,,,,,PxyAxyBxy，则10201010202044,PAPByyyykkxxyyxxyy，∴120210200120124244PAPByyykkyyyyyyyyyy（*）显然动直线l的斜率非零，故可设其方程为,xtymtR，联立24yx，整理得2440ytym，∴12124,4yytyym，且12yy，代入（*）式得002200004421684444PAPBtytykkytymytym，显然0y，于是2000416480PAPBPAPBykktkkymy（**），欲使（**）式对任意tR成立，∴02004160480PAPBPAPBykkkkymy，显然2040ym，否则由200480PAPBkkymy可知00y，从而可得0m，这与m为非零常数矛盾，∴0020484PAPBPAPBkkyykkym，∴0200844yyym，∴204ym，于是，当0m时，不存在满足条件的0y，即不存在满足题设条件的点P；当0m时，02ym，将此