第十七章-量子物理基础习题解

180第十七章量子物理基础17–1用辐射高温计测得炉壁小孔的辐射出射度为22.8W/cm2，则炉内的温度为。解：将炉壁小孔看成黑体，由斯特藩—玻耳兹曼定律4TTMB得炉内的温度为3484410416.11067.5108.22)(TMTBK17–2人体的温度以36.5C计算，如把人体看作黑体，人体辐射峰值所对应的波长为。解：由维恩位移定律bTm得人体辐射峰值所对应的波长为33m10363.95.30910898.2Tbnm17–3已知某金属的逸出功为A，用频率为1的光照射该金属刚能产生光电效应，则该金属的红限频率0=，遏止电势差Uc=。解：由爱因斯坦光电效应方程Wmh2m21v，AW，当频率为1刚能产生光电效应，则0212mvm。故红限频率hA/0遏止电势差为01011eheheheWehUc17–4氢原子由定态l跃迁到定态k可发射一个光子，已知定态l的电离能为0.85eV，又已知从基态使氢原子激发到定态k所需能量为10.2eV，则在上述跃迁中氢原子所发射的光子的能量为eV。解：氢原子的基态能量为6.130EeV，而从基态使氢原子激发到定态k所需能量为E=10.2eV，故定态k的能量为eV4.32.106.130EEEk又已知eV85.0lE，所以从定态l跃迁到定态k所发射的光子的能量为eV55.2klEEE17–5一个黑体在温度为T1时辐射出射度为10mW/cm2，同一黑体，当它的温度变为2T1时，其辐射出射度为[]。A．10mW/cm2B．20mW/cm2C．40mW/cm2D．80mW/cm2E．160mW/cm2解：由斯特藩—玻耳兹曼定律，黑体的总辐射能力和它的绝对温度的四次方成正比，即4TTMB故应选（E）。18117–6量子力学中的波函数模的平方表示[]。A．粒子出现的概率B．粒子出现的概率密度C．粒子在空间的位置坐标D．粒子在空间的动量密度解：量子力学中的波函数模的平方*2||表示的是粒子在空间出现的概率密度，而粒子在Vd出现的概率为Vd||2。因此应选（B）。17–7一个处于4f态的电子，它的轨道角动量的大小为[]。A．2B．3C．6D．32E．54解：电子处于4f态，4表示其所处能级，f代表其角动量量子数为3。所以角动量为)13(3)1(llL32故应选（D）。17–8如果一个电子被限制在原子核的尺度范围内，它的动量的不确定度最接近的值是[]。A．200eV/cB．200KeV/cC．200MeV/cD．200GeV/c解：由测不准关系2px近似取px，原子核的尺度为1510~xm，动量不确定度为MeV/c219eV/c106.110310054.11010054.1198191534xp。选（C）。17–9已知一粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为)(,2π3cos1)(axaaxax那么粒子在ax65处出现的概率密度为[]。A．a21B．a21C．a1D．a1解：粒子在一维矩形无限深势阱中任意点的概率密度为axaxx2π3cos1)*()(2在ax65处出现的概率密度为aaaaxxax21652π3cos1*)()(265故答案应选（A）。17–10当用钠光灯发现的波长为589.3nm的黄光照射某一光电池时，需要0.300V的负电势差才能遏止所有向阳极运动的光电子。如果用波长为400nm的光照射这个光电池，截止电压多大？板极材料的逸出功多大？解（1）求对应于2的截止电压U2。根据爱因斯坦光效方程和光电子的最大初动能与截止电压的关系，得，182WeUWmh121121vWeUWmh222221v两式相减得)(2121UUehh即)(112121UUehc由此导出211211ehcUU将已知数和常量代入，得V3.12U（2）求极板材料的逸出功。由Wmh21121v得1.80eVJ1089.21911eUhcA17–11试计算氢原子中巴耳末系的最短波长和最长波长各是多少？解：根据巴耳末系的波长公式，其最长波长应是n=3n=2跃迁的光子，即)3121(10097.1)3121(122722maxRnm3.656m1056.67max最短波长应是n=n=2跃迁的光子，即4/10097.121172minRnm4.346min17–12原则上讲，玻尔理论也适用于太阳系：太阳相当于核，行星相当于电子，而万有引力相当于库仑力。其角动量是量子化的，即nL，而且其运动服从经典理论。（1）求出行星绕太阳运动的允许半径的公式；（2）太阳的质量为2.0×1030kg，地球的质量为5.98×1024kg，地球运行半径实际上是1.50×1011m，和此半径对应的量子数n多大?（3）地球实际的轨道和它的下一个较大的可能轨道的半径差值多大?解：（1）设行星的质量为m，太阳的质量为M，行星绕太阳运动的半径为R，并将其视为绕太阳的圆周运动，则行星绕太阳运动的角动量为RGmMmRmRLv故有183nRGmMmR所以行星绕太阳运动的允许半径为MGmnR222，,3,2,1n（1）（2）由（1）式得和地球半径对应的量子数n为11301134241050.1100.21067.61005.11098.5GMRmn=2.54×1074（3）由（1）式得地球实际的轨道和它的下一个较大的可能轨道的半径差值为nMGmnR222633048211682741017.1100.21098.51067.61005.11054.2217–13一个调频广播电台的播出频率为98.1MHz，天线的辐射功率为4100.5W，求天线每秒钟辐射的光子数。解：设天线每秒钟辐射的光子数为n，由nhE得天线每秒钟辐射的光子数为s/107.7101.981063.6100.5296344hEn17–14计算动能为300eV的电子的德布罗意波长。解:已知常数sJ10626.634h，kg1011.931m，J10602.1eV119。由mPEk22，kmEP2因此kmEhPh2nm08.710602.13001011.9210626.619313417–15求波长为450nm的单色光子的能量和动量。解：光子的能量为eV76.2J1042.410450100.31063.6199834hch光子的动量为s/mkg1047.1104501063.627934hp17–16质量为0.01kg的子弹和质量为kg1011.931，运动速度都为1000m/s，若速度的不确定程度为其运动速度的1%，求它们位置的不确定程度；它们能否用经典力学处理？解：子弹位置的不确定度为：m1063.6%1100001.01063.633341vmhx可以认为位置和动量能同时确定，所以可以用经典力学处理。电子位置的不确定程度为：184m103.7%110001011.91063.65313422vmhx远远超过在原子和分子中的电子离原子核的距离，不能用经典力学处理。17–17求下列波函数归一化常数和概率密度。)0(,πsin,0(,0)(iaxxaAeaxxxEt）解：利用归一化条件可得xxd|)(|2axaxA022dπsin122aA所以归一化常数A为aA2概率密度为2||)(x)0(,πsin2),0(,02axaxaaxx17–18有一微观粒子，沿x方向运动，其波函数为xxAx(,i1)(，A为正常数)（1）将此波函数归一化；（2）求粒子的概率密度函数；（3）求找到粒子概率最大的位置。解：（1）1πarctand1d|)(|22222AxAxxAxx所以归一化常数π1A归一化后的波函数为)(,i11π1)(xxx（2）求粒子的几率密度函数)1(π1||)(22xx（3）对几率密度函数求导，并令其为零，即0)1(π2d)(d22xxxx可得0x时概率密度最大，即找到粒子概率最大位置。17–19一质量为M、能量为E的粒子在一维势场V(x)中波函数为2exp)(22xbAx，185波函数中A和b为实常量。如果当x=0时，势场0)(xV。计算粒子的能量E和势场V(x)。解：由一维薛定谔方程)(dd2222VExM（1）将题给波函数代入，得2exp)(2exp)1(222222222xbVExbxbbM（2）由于x=0时，势场0)(xV，代入上式得MbE222（3）将（3）式代回（2）式，得MxbxV2)(242