运用两点间的距离公式求最值

运用两点间的距离公式求最值两点间的距离公式是平面解析几何中最基本的公式．根据题设条件，构设点的坐标，利用两点间的距离公式，数与形相结合，可以使一些代数问题得到直观、形象、简捷、合理的解答．现就两点间的距离公式在求最值中的应用举例说明．一、求函数的最值例１求函数224131026yxxxx的最小值．分析：本题含有两个根式，切不可把两个无理式的最小值的和作为函数y的最小值，因为这两个根式各自的最小值是在不同的x处取得的．如果从代数的角度考虑，其解答将会比较繁琐，仔细观察式子的结构，改变式子的表示形式：2222(2)(03)(5)(01)yxx，易联想到两点间的距离公式，从而将代数问题转化为几何问题来解决．解：如图1，在平面直角坐标系内，设点Ｍ（2，3），(51)N，，(0)Px，．则2222(2)(03)(5)(01)yxxMPPNMN≥22(52)(13)5即y≥5（其中等号在Ｍ，Ｐ，Ｎ三点共线时成立），∴min5y．评注：此题若用纯代数知识求解，则比较麻烦，但联想到利用两点间的距离公式，就会茅塞顿开．例2求函数22222222()(1)(1)(1)(1)fxyxyxyxyxy，的最小值．分析：式子中出现了四个根式、两个变量，且根式中皆为平方和的形式，联想两点间的距离公式，则可简化解答过程．解：如图2，()fxy，表示在平面直角坐标系中的动点()Pxy，到定点(00)A，，(10)B，，(01)C，，(11)D，的距离之和．而APD△中，PAPDAD≥，当且仅当点P在线段AD上时等号成立；CPB△中，PCPBBC≥，当且仅当点P在线段BC上时等号成立，所以22PAPDPCPBADBC≥，当且仅当点Ｐ为AD与BC的交点时，f（x，y）取得最小值22，此时点P的坐标为11,22．二、求距离的平方和的最值例3已知点(21)A，，(22)B，，点00()Pxy，满足y=2x，求22PAPB取得最小值时点P的坐标．分析：利用两点间距离公式将22PAPB表示为()fxy，的形式，再消元得一个关于x（或y）的二次函数，最后求值．解：由已知点00()Pxy，满足002yx，结合两点间的距离公式，得2222220000(2)(1)(2)(2)PAPBxyxy220000288265xxyy2200002888625xxxx200102013xx2010(1)3x，当01x时，22PAPB取得最小值3，此时点P的坐标为（1，2）．评注：对于几何中的平方和的最值问题，常是先由两点间的距离公式建立二元函数()fxy，，然后通过消元转化为关于x（或y）的函数f（x）（或f（y）），再求解．一般地，对于根式内能化成两个完全平方式之和的问题，均可借助于两点间的距离公式，利用数形结合的思想来解决，这也是这类题型解法的创新之处．以上仅介绍了两点间的距离公式在求最值中的应用，而两点间的距离公式的应用是十分广泛的，随着学习的深入，它在其他方面的应用将会逐渐展现求函数的最值1．已知P(－2,－2),Q(0,1),R(2,m)，若|PR|+|RQ|最小，则m的值为（A）21（B）0（C）－1（D）－342．已知A(8,6),B(2,－2)，在直线3x－y+2=0上有点P，可使|PA|+|PB|最小，则点P坐标为（A）(2,0)（B）(－4,－10)（C）(－10,－4)（D）(0,2)3．已知点A(1,3),B(5,－2)，在x轴上取点P，使||PA|－|PB||最大，则点P坐标为.4．函数y=22148xxx的最小值为.5求函数y＝x2－2x＋2＋x2－4x＋8的最小值．