数值分析期末复习要点总结

1期末复习要点总结数值分析22第一章误差第一章误差一.误差的来源:1.模型误差2.观测误差3.截断误差4.舍入误差二.绝对误差、相对误差和有效数字33为准确值x的一个近似值，称*x**)(xxxe*x绝对误差、相对误差和有效数字若**)(xxxe*x的绝对误差限，简称误差限.通常称为近似值定义2设*x)(*xerxxxxxexer***(1-3)记为即准确值之比为近似值*x为近似值的绝对误差，简称误差.(1-1)称绝对误差与为准确值x的近似值，的相对误差，(1-2)定义1设4由于在计算过程中准确值x总是未知的，*****xxxxxexer绝对误差、相对误差和有效数字故一般取相对误差为则称为的相对误差限.rrrxxexe***r*x使得(1-4)如果存在正数5如果近似值*xn1021*x准确到小数点后第n位,并从第一个非零数字到这一位的所有数字均称为有效数字.绝对误差、相对误差和有效数字有效数字的误差限是则称*..x14144142136.1*x取前八位数得近似值例如，.,x21414213562取前四位数得.,31214141021.414有4位有效数字..712141421361021.4142136有8位有效数字.66*xmnaaax10.021*(1-5),2,1,01iaai一般地，如果近似值其中m为整数，绝对误差、相对误差和有效数字为0到9之间的整数.nmxx1021*如果(1-6)则称近似值*x有n位有效数字.*...x114140141410例如.3141121414101022有4位有效数字.故*.x1414的规格化形式为77绝对误差、相对误差和有效数字若x的近似值,10.021*mnaaax111021na至少具有n位有效数字.*xr1110121nra*x)0(1a有n位有效数字，则误差限.反之，的相对误差定理1.1为其相对满足若则9例设近似数1.557a31()102ea()()reaeaa是某真值x经四舍五入所得,试求其绝对误差限和相对误差限.解由于a经四舍五入得到,故311021.57743.1705771091111数值计算中误差的传播例2:要使6的近似值的相对误差限小于0.1%,应取取几位有效数字解:263,6的首位数是2,12a设近似数*x有n位有效数字,只须取n使111100.1%2na即11100.1%22n1100.4%,n取n=4,即取4位有效数字,近似值的相对误差限小于0.1%.1010,0.4%n10lg3.39790.4%n12数值计算中的一些原则1.避免两个相近的数相减2.避免大数“吃”小数的现象3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值4.要简化计算，减少运算次数，提高效率5.要有数值稳定性,即能控制舍入误差的传播例如为提高数值计算精度,当正数x充分大时,应将2121xx(2121)(2121)2121xxxxxx22121xx改写为22121xx1214第二章插值已知函数y=f(x)在[a,b]上有定义，且已经测得在点ax0x1···xnb处的函数值为y0=f(x0)，…，yn=f(xn)如果存在一个简单易算的函数P(x)，使得P(xi)=f(xi)，i=1,2,...,n则称P(x)为f(x)的插值函数插值区间插值节点求插值函数P(x)的方法就称为插值法插值节点无需递增排列，但必须确保互不相同！插值条件15基函数法通过基函数来构造插值多项式的方法就称为基函数插值法Zn(x)={次数不超过n的多项式的全体}记n+1维线性空间设z0(x),z1(x),...,zn(x)构成Zn(x)的一组基，则插值多项式P(x)=a0z0(x)+a1z1(x)+···+anzn(x)①寻找合适的基函数②确定插值多项式在这组基下的表示系数基函数法基本步骤16Lagrange插值Lagrange插值基函数设lk(x)是n次多项式，在插值节点x0,x1,…,xn上满足1,()0,kjjklxjk则称lk(x)为节点x0,x1,…,xn上的拉格朗日插值基函数17线性与抛物线插值两种特殊情形n=10110011010110()()()xxxxLxylxylxyyxxxx线性插值多项式（一次插值多项式）n=2020112012010210122021()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxyyyxxxxxxxxxxxx抛物线插值多项式（二次插值多项式）2()Lx18例：已知函数y=lnx的函数值如下解：x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231试分别用线性插值和抛物线插值计算ln0.54的近似值线性插值：取x0=0.5,x1=0.6得将x=0.54代入可得：011010110()0.18231.6046xxxxLxyyxxxxxln0.54L1(0.54)=-0.6202为了减小截断误差，通常选取插值点x邻接的插值节点19抛物线插值：取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,可得ln0.54L2(0.54)=-0.6153ln0.54的精确值为：-0.616186···可见，抛物线插值的精度比线性插值要高Lagrange插值多项式简单方便，只要取定节点就可写出基函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现。20Lagrange插值l0(x),l1(x),…,ln(x)构成Zn(x)的一组基性质注意l0(x),l1(x),…,ln(x)与插值节点有关，但与函数f(x)无关lk(x)的表达式0110111,()()()()()()()()()kknkkkknjjjkkknjkkxxxxxlxxxxxxxxxxxxxxxx由构造法可得21误差估计如何估计误差)()()(xLxfxRnn插值余项定理设f(x)Cn[a,b](n阶连续可微)，且f(n+1)(x)在(a,b)内存在，则对x[a,b]，有(1)1()()()()()(1)!nxnnnfRxfxLxxn其中x(a,b)且与x有关,101()()()()nnxxxxxxx22插值余项余项公式只有当f(x)的高阶导数存在时才能使用几点说明计算插值点x上的近似值时，应选取与x相近插值节点10()(1)!nnniiMRxxxn如果，则(1)1()nnfxMx与x有关，通常无法确定,实际使用中通常是估计其上界23插值误差举例例：已知函数y=lnx的函数值如下x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231试估计线性插值和抛物线插值计算ln0.54的误差解线性插值(2)2()4f(2)101()()()()2fRxxxxx1(0.54)2(0.540.5)(0.540.6)0.0048Rx0=0.5,x1=0.6,(0.5,0.6)24Newton插值为什么Newton插值Lagrange插值简单易用，但若要增加一个节点时，全部基函数lk(x)都需重新计算，不太方便。设计一个可以逐次生成插值多项式的算法，即n次插值多项式可以通过n-1次插值多项式生成——Newton插值法解决办法25什么是差商设函数f(x)，节点x0,…,xn()()[,]jiijjifxfxfxxxxf(x)关于点xi,xj的一阶差商[,][,][,,]jkijijkkifxxfxxfxxxxxf(x)关于点xi,xj,xk的二阶差商101010[,,][,,][,,,]kkkkfxxfxxfxxxxxk阶差商差商的一般定义26差商的性质k阶差商与k阶导数之间的关系：若f(x)在[a,b]上具有k阶导数，则至少存在一点(a,b)，使得()01()[,,,]!kkffxxxk27如何巧妙地计算差商差商表xiƒ(xi)一阶差商二阶差商三阶差商…n阶差商x0x1x2x3xnƒ(x0)ƒ(x1)ƒ(x2)ƒ(x3)ƒ(xn)ƒ[x0,x1]ƒ[x1,x2]ƒ[x2,x3]ƒ[xn-1,xn]ƒ[x0,x1,x2]ƒ[x1,x2,x3]ƒ[xn-2,xn-1,xn]ƒ[x0,x1,x2,x3]ƒ[xn-3,xn-2,xn-1,xn]……ƒ[x0,x1,…,xn]28差商举例例：已知y=(x)的函数值表，试计算其各阶差商i0123xi-2-112f(xi)531721解：差商表如下xiƒ(xi)一阶差商二阶差商三阶差商-2-112531721-2743-1-129Newton插值公式f(x)=Nn(x)+Rn(x)10102011()()()()()nniinaaxxaxxxxaxNxx001[,,...,]()...()(())nnnnfxxxxRxxxxxxNn(x)是n次多项式Nn(xi)=f(xi)，i=0,1,2,…,n重要性质Nn(x)是f(x)的n次插值多项式nixxfaxfaii,,2,1],,,[),(000其中30Newton/LagrangeNewton插值多项式与Lagrange插值多项式f(x)在x0,x1,…,xn上的n次插值多项式是唯一的！Nn(x)Ln(x)余项也相同(1)000()[]()()(1)!nnnxniiiifξfx,x,...,xxxxxn(1)0()[](1)!nxnfξfx,x,...,xn!)(][)(0kfx,...,xfkk将x看作节点31插值举例例：已知函数y=lnx的函数值如下解：取节点0.5,0.6,0.4作差商表试分别用牛顿线性插值和抛物线插值计算ln0.54的近似值x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231xiƒ(xi)一阶差商二阶差商0.50.60.4-0.6931-0.5108-0.91631.82302.0275-2.0450N1(x)=-0.6931+1.8230(x-0.5)N1(0.54)=-0.6202N2(x)=-0.6931+1.8230(x-0.5)-2.0450(x-0.5)(x-0.6)N2(0.54)=-0.6153ex25.m插值节点无需递增排列，但必须确保互不相同！32数值积分()()dbaIffxx微积分基本公式：baaFbFxxf)()(d)((3)f(x)表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表但是在许多实际计算问题中(2)F(x)难求！甚至有时不能用初等函数表示。如21()sin,xfxxex(1)F(x)表达式较复杂时，计算较困难。如61()1fxx33数值积分公式的一般形式0()d()nbiiaifxxAfx求积节点求积系数机械求积方法将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算无需求原函数易于计算机实现一般地，用f(x)在[a,b]上的一些离散点ax0x1···xnb上的函数值的加权平均作为f()的近似值，可得34定义：如果对于所有次数不超过m的多项式f(x)，公式精确成立，但对某个次数为m+1的多项式不精确成立，则称该求积公式具有m次代数精度0()d()nbiiaifxxAfx将f(x)=1,x,x2,…,xm依次代入，公式精确成立;但对f(x)=xm+1不精确成立。即：22110d2mmnbmmiiaibaAxxxm(k=0,1,…,m)代数精度的验证方法110d1kknbkkiiai