2020年成都市2017级高中毕业班第一次诊断性检测数学试题和答案(文理)

数学(文科)“一诊”考试题参考答案　第１　　　　页(共４页)成都市２０１７级高中毕业班第一次诊断性检测数学(文科)参考答案及评分意见第Ⅰ卷　(选择题,共６０分)一、选择题:(每小题５分,共６０分)１．B;２．D;３．C;４．D;５．A;６．D;７．C;８．A;９．B;１０．C;１１．B;１２．A．第Ⅱ卷　(非选择题,共９０分)二、填空题:(每小题５分,共２０分)１３．６;　　１４．３n;　　１５．π６;　　１６．６π．三、解答题:(共７０分)１７．解:(Ⅰ)∵b２＋c２－a２＝２bccosA,∴２bccosA＝４２３bc．􀆺􀆺２分∴cosA＝２２３．􀆺􀆺４分∴在△ABC中,sinA＝１－cos２A＝１３．􀆺􀆺６分(Ⅱ)∵△ABC的面积为２,即１２bcsinA＝１６bc＝２,􀆺􀆺７分∴bc＝６２．􀆺􀆺８分又∵２sinB＝３sinC,由正弦定理得２b＝３c,∴b＝３２,c＝２．􀆺􀆺１０分则a２＝b２＋c２－２bccosA＝６,∴a＝６．􀆺􀆺１１分∴△ABC的周长为２＋３２＋６．􀆺􀆺１２分１８􀆰解:(Ⅰ)由题,２×２列联表如下:属于“追光族”属于“观望者”合　计女性员工２０４０６０男性员工２０２０４０合　计４０６０１００􀆺􀆺２分∵K２＝１００(２０×２０－２０×４０)２４０×６０×４０×６０＝２５９≈２􀆰７７８＜３􀆰８４１,􀆺􀆺４分∴没有９５％的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关．􀆺􀆺５分数学(文科)“一诊”考试题参考答案　第２　　　　页(共４页)(Ⅱ)设人事部的这６名中的３名“追光族”分别为“a,b,c”,３名“观望者”分别为“A,B,C”􀆰则从人事部的这６名中随机抽取３名的所有可能情况有“a,b,c;a,b,A;a,b,B;a,b,C;a,c,A;a,c,B;a,c,C;b,c,A;b,c,B;b,c,C;a,A,B;a,A,C;a,B,C;b,A,B;b,A,C;b,B,C;c,A,B;c,A,C;c,B,C;A,B,C”共２０种．􀆺􀆺８分其中,抽取到的３名中恰有１名属于“追光族”的所有可能情况有“a,A,B;a,A,C;a,B,C;b,A,B;b,A,C;b,B,C;c,A,B;c,A,C;c,B,C”共９种．􀆺􀆺１１分∴抽取到的３名中恰有１名属于“追光族”的概率P＝９２０􀆰􀆺􀆺１２分１９􀆰解:(Ⅰ)如图,连接AC􀆰∵底面ABCD为菱形,且∠ABC＝６０°,∴三角形ABC为正三角形􀆰∵E为BC的中点,∴BC⊥AE􀆰􀆺􀆺２分又∵AP⊥平面PBC,BC⊂平面PBC,∴BC⊥AP􀆰􀆺􀆺４分∵AP∩AE＝A,AP,AE⊂平面PAE,∴BC⊥平面PAE􀆰􀆺􀆺６分(Ⅱ)连接BD交AF于点M,连接QM􀆰∵F为CD的中点,∴在底面ABCD中,DMMB＝DFAB＝１２,∴DMDB＝１３􀆰􀆺􀆺８分∴PQPB＝DMDB＝１３,∴在三角形BPD中,PD∥QM􀆰􀆺􀆺１０分又∵QM⊂平面QAF,PD⊄平面QAF,∴PD∥平面QAF􀆰􀆺􀆺１２分２０．解:(Ⅰ)f′(x)＝a－１x＋１－ax２＝x２＋(a－１)x－ax２＝(x－１)(x＋a)x２．􀆺􀆺１分∵x＞０,a∈R,∴当a≥０时,x＋a＞０,函数f(x)在(０,１)内单调递减,在(１,＋∞)内单调递增;􀆺􀆺２分当－１＜a＜０时,０＜－a＜１,函数f(x)在(０,－a)内单调递增,在(－a,１)内单调递减,在(１,＋∞)内单调递增;􀆺􀆺３分当a＝－１时,f′(x)＝(x－１)２x２≥０,函数f(x)在(０,＋∞)内单调递增;􀆺􀆺４分当a＜－１时,－a＞１,函数f(x)在(０,１)内单调递增,在１,－a()内单调递减,在(－a,＋∞)内单调递增．􀆺􀆺５分(Ⅱ)当a＝２时,f(x)＝lnx＋x＋２x,f′(x)＝１x＋１－２x２,x∈[１,２]．∴f(x)－f′(x)－x－２x＝lnx－１x＋２x２－１􀆰􀆺􀆺６分数学(文科)“一诊”考试题参考答案　第３　　　　页(共４页)令h(x)＝lnx－１x＋２x２－１,则h′(x)＝１x＋１x２－４x３＝x２＋x－４x３．􀆺􀆺７分令u(x)＝x２＋x－４,∵函数u(x)在[１,２]内单调递增,u(１)＜０,u(２)＞０,􀆺􀆺８分∴存在唯一的x０∈(１,２),使得h′(x０)＝０􀆰􀆺􀆺９分∵当x∈(１,x０)时,h′(x０)＜０;当x∈(x０,２)时,h′(x０)＞０;∴函数h(x)在(１,x０)内单调递减,在(x０,２)内单调递增􀆰􀆺􀆺１０分又∵h(１)＝０,h(２)＝ln２－１＜０,􀆺􀆺１１分∴h(x)max＝０,即f(x)－f′(x)≤x＋２x对任意的x∈[１,２]都成立．􀆺􀆺１２分２１．解:(Ⅰ)由题,F(１,０),令直线AB:x＝my＋１(m∈R),A(x１,y１),B(x２,y２)．联立x＝my＋１x２２＋y２＝１ìîíïïïï,消去x,得(m２＋２)y２＋２my－１＝０．∵Δ＝４m２＋４(m２＋２)＞０,y１＋y２＝－２mm２＋２,y１y２＝－１m２＋２,􀆺􀆺２分∴|y１－y２|＝(y１－y２)２＝(y１＋y２)２－４y１y２＝２２􀅰m２＋１m２＋２．􀆺􀆺３分∴四边形OAHB的面积S＝１２|OH|􀅰|y１－y２|＝|y１－y２|＝２２􀅰m２＋１m２＋２．􀆺􀆺４分令m２＋１＝t,∴t≥１,∴S＝２２tt２＋１＝２２t＋１t．∵t＋１t≥２(当且仅当t＝１即m＝０时取等号),∴０＜S≤２．􀆺􀆺５分∴四边形OAHB面积的取值范围为(０,２]．􀆺􀆺６分(Ⅱ)∵H(２,０),F(１,０),∴E(３２,０)􀆰􀆺􀆺７分∴直线BE的斜率k＝y２x２－３２,直线BE的方程为y＝y２x２－３２(x－３２)􀆰􀆺􀆺８分令x＝２得,yD＝１２y２my２－１２．􀆺􀆺①􀆺􀆺９分由(Ⅰ),y１＋y２＝－２mm２＋２,y１y２＝－１m２＋２．∴y１＋y２＝２my１y２,my２＝y１＋y２２y１＝１２＋y２２y１􀆰􀆺􀆺１０分数学(文科)“一诊”考试题参考答案　第４　　　　页(共４页)化简①,得yD＝１２y２my２－１２＝１２y２１２＋y２２y１－１２＝y１．􀆺􀆺１１分∴直线AD与x轴平行􀆰􀆺􀆺１２分２２．解:(Ⅰ)由题,知点Q的轨迹是以(２,０)为圆心,２为半径的圆．􀆺􀆺２分∴曲线C２的方程为(x－２)２＋y２＝４．􀆺􀆺３分∵ρ２＝x２＋y２,x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,∴曲线C１的极坐标方程为ρ＝４sinθ,􀆺􀆺４分曲线C２的极坐标方程为ρ＝４cosθ．􀆺􀆺５分(Ⅱ)在极坐标系中,设点A,B的极径分别为ρ１,ρ２．∴|AB|＝|ρ１－ρ２|＝４|sinπ６－cosπ６|＝２(３－１)．􀆺􀆺７分又∵点M(３,π２)到射线θ＝π６(ρ≥０)的距离为h＝３sinπ３＝３３２．􀆺􀆺９分∴△MAB的面积S＝１２|AB|􀅰h＝９－３３２．􀆺􀆺１０分２３．解:(Ⅰ)原不等式化为|x－３|≥４－|２x＋１|,即|２x＋１|＋|x－３|≥４．􀆺􀆺１分当x≤－１２时,不等式化为－２x－１－x＋３≥４,解得x≤－２３,故x≤－２３;􀆺􀆺２分当－１２＜x＜３时,不等式化为２x＋１－x＋３≥４,解得x≥０,故０≤x＜３;􀆺􀆺３分当x≥３时,不等式化为２x＋１＋x－３≥４,解得x≥２,故x≥３．􀆺􀆺４分∴原不等式的解集为x|x{≤－２３或x≥０}．􀆺􀆺５分(Ⅱ)∵f(x)＝|x－３|,∴|x＋３２|－f(x)＝|x＋３２|－|x－３|≤|(x＋３２)－(x－３)|＝９２,当且仅当(x＋３２)(x－３)≥０且|x＋３２|≥|x－３|时取等号．􀆺􀆺７分又∵１m＋４n＝２(m＞０,n＞０),∴m＋n＝１２(m＋n)(１m＋４n)＝１２(５＋nm＋４mn)≥１２(５＋２nm􀅰４mn)＝９２,当且仅当nm＝４mn时取等号．􀆺􀆺９分∴m＋n≥|x＋３２|－f(x)成立．􀆺􀆺１０分数学(理科)“一诊”考试题参考答案　第１　　　　页(共４页)成都市２０１７级高中毕业班第一次诊断性检测数学(理科)参考答案及评分意见第Ⅰ卷　(选择题,共６０分)一、选择题:(每小题５分,共６０分)１．B;２．D;３．C;４．A;５．D;６．C;７．B;８．A;９．B;１０．C;１１．D;１２．C．第Ⅱ卷　(非选择题,共９０分)二、填空题:(每小题５分,共２０分)１３．６;　　１４．３n;　　１５．π６;　　１６．３．三、解答题:(共７０分)１７．解:(Ⅰ)∵b２＋c２－a２＝２bccosA,∴２bccosA＝４２３bc．􀆺􀆺２分∴cosA＝２２３．􀆺􀆺４分∴在△ABC中,sinA＝１－cos２A＝１３．􀆺􀆺６分(Ⅱ)∵△ABC的面积为２,即１２bcsinA＝１６bc＝２,􀆺􀆺７分∴bc＝６２．􀆺􀆺８分又∵２sinB＝３sinC,由正弦定理得２b＝３c,∴b＝３２,c＝２．􀆺􀆺１０分则a２＝b２＋c２－２bccosA＝６,∴a＝６．􀆺􀆺１１分∴△ABC的周长为２＋３２＋６．􀆺􀆺１２分１８􀆰解:(Ⅰ)由题,２×２列联表如下:属于“追光族”属于“观望者”合　计女性员工２０４０６０男性员工２０２０４０合　计４０６０１００􀆺􀆺２分∵K２＝１００(２０×２０－２０×４０)２４０×６０×４０×６０＝２５９≈２􀆰７７８＜３􀆰８４１,􀆺􀆺４分∴没有９５％的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关．􀆺􀆺５分(Ⅱ)由题,随机变量X所有可能的取值为０,１,２,３．P(X＝０)＝C０３C３７C３１０＝３５１２０＝７２４,P(X＝１)＝C１３C２７C３１０＝６３１２０＝２１４０,数学(理科)“一诊”考试题参考答案　第２　　　　页(共４页)P(X＝２)＝C２３C１７C３１０＝２１１２０＝７４０,P(X＝３)＝C３３C０７C３１０＝１１２０．􀆺􀆺９分∴X的分布列为X０１２３P７２４２１４０７４０１１２０􀆺􀆺１０分∴E(X)＝０×３５１２０＋１×６３１２０＋２×２１１２０＋３×１１２０＝１０８１２０＝９１０．􀆺􀆺１２分１９􀆰解:(Ⅰ)如图,连接AC􀆰∵底面ABCD为菱形,且∠ABC＝６０°,∴三角形ABC为正三角形􀆰∵E为BC的中点,∴BC⊥AE􀆰􀆺􀆺２分又∵AP⊥平面PBC,BC⊂平面PBC,∴BC⊥AP􀆰􀆺􀆺４分∵AP∩AE＝A,AP,AE⊂平面PAE,∴BC⊥平面PAE􀆰􀆺􀆺６分(Ⅱ)∵AP⊥平面PBC,PB⊂平面PBC,∴AP⊥PB．又∵AB＝２,PA＝１,∴PB＝３．由(Ⅰ),BC⊥平面PAE,PE⊂平面PAE,∴BC⊥PE．又∵E为BC的中点,∴PB＝PC＝３,EC＝１．∴PE＝２．如图,过点P作BC的平行线PQ,则PQ,PE,PA两两互相垂直．􀆺􀆺７分以P为坐标原点,PE→,PQ→,PA→的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz．则P(０,０,０),A(０,０,１),B(２,－１,０),C(２,１,０),D(０,２,１)．􀆺􀆺８分设平面BAP的一个法向量m＝(x１,y１,z１),PA→＝(０,０,１),PB→＝(２,－１,０)．由m􀅰PA→＝０m􀅰PB→＝０{,得z１＝０２x１－y１＝０{．取m＝(１,２,０)．􀆺􀆺９分设平面CDP的一个法向量n＝(x２,y２,z２),PC→＝(２,１,０),PD→＝(０,２,１)．由n􀅰PC→＝０n􀅰PD→＝０{,得２x２＋y２＝０２y２＋z２＝０{．取n＝(１,－２,２２)．􀆺􀆺１０分∴cos‹m,n›＝－１３􀅰１１＝－３３３３．􀆺􀆺１１分∴平面BAP与平面CDP所成锐二面角的余弦值为３３３３．􀆺􀆺１２分数学(理科)“一诊”考试题参考答案　第３　　　　页(共４页)２０．解:(Ⅰ)f′(x)＝a－１x＋１－ax２＝x２＋(a－１)x－ax２＝(x－１)(x＋a)