1.2.1.1-排列与排列数公式

边城高级中学张秀洲1、理解排列的概念,能正确写出一些简单问题的所有排列.2、会用排列数公式进行求值和证明.自学教材P14—P20解决下列问题一、会用排列数公式进行求值和证明.二、《教材》P20练习.问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？分析：把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？上午下午相应的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任选1名，有3种选法.第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法根据分步计数原理：3×2=6即共6种方法。问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题1就可以叙述为：从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ab,ac,ba,bc,ca,cb问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？1234443322444333111244431112224333111222有此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143;213，214，231，234，241，243;312，314，321，324，341，342;412，413，421，423，431，432.从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？abc，abd，acb，acd，adb，adc；bac，bad，bca，bcd，bda，bdc；cab，cad，cba，cbd，cda，cdb；dab，dac，dba，dbc，dca，dcb。问题2可以叙述为：共有4×3×2=24（种）上述问题1、2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？1、排列：一般地，从n个不同中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。说明：1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图”。练习一:下列问题中哪些是排列问题？（1）10名学生中抽2名学生开会（2）10名学生中选2名做正、副组长（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除（5）20位同学互通一次电话（6）20位同学互通一封信（7）以圆上的10个点为端点作弦（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线（9）有10个车站，共需要多少种车票？（10）有10个车站，共需要多少种不同的票价？是是是是是否否否否否教材P20练习1.1、写出（1）从4个不同元素a、b、c、d中任取2个元素的所有排列；（2）从5个不同元素a、b、c、d、e中任取2个元素的所有排列；ab，ac，ad，bc，bd，cd，ba，ca，da，cb，db，dc.ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de,ba，ca，da，ea，cd，db，eb，dc，ec，ed.2、排列数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数.用符号表示。mnA问题1:中是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，记为,已经算得23A23326A问题2:中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为,已经算出34A3443224A探究:从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？2nA2(1)nAnn呢？mnA呢？3nA……第1位第2位第3位第m位n种(n-1)种(n-2)种(n-m+1)种3(1)(2)nAnnn(1)(2)(1)mnAnnnnm例1:计算：410;(1)A10987504012111098765512111098766！=6×5×4×3×2×1=720812712(2);AA66(3).A类型1：排列数的计算或证明(1)排列数公式①：(1)(2)(1)(,*,)mnAnnnnmmnNmn当m＝n时，(1)(2)321nnAnnn正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示。!nn个不同元素的全排列公式：!nnAn12121!()!21nnnnmnmnnmnm121nnnnmmnA!()!nmnnnmnmAnAAnm(1)排列数公式①：(1)(2)(1)(,*,)mnAnnnnmmnNmn当m＝n时，(1)(2)321nnAnnn正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示。!nn个不同元素的全排列公式：!nnAn(2)排列数公式②：!()!mnnAnm说明：1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。为了使当m＝n时上面的公式也成立，规定：0!12、对于m≤n这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。15425434254)(1)!111(5)!(1)!(1)!nmnmnnn化简：（）！，（）（）！（）！，（）（15（）！(2)20!(4)()!nm22(5)(1)!nnn(3)7类型2：简单的排列问题例：某年全国足球甲级(A组)联赛共有14队参加,每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次,共进行多少场比赛?①有5本不同的书,从中选出3本给3名同学,每人一本,共有多少种不同的选法?7141413182A3554360A②有5种不同的书,从中选出3本给3名同学,每人一本,共有多少种不同的选法?555125排列数分步乘法计数原理2020年6月3日星期三二、《教材》P20练习2-5.(巩固排列数公式):2.计算：（1）415A；（2）77A．（3）42882AA（4）812712AA3．计算下面的阶乘数，并填入下表中：n2345678n!4.若*,55nNn且,则(55)(56)(68)(69)nnnn用排列数符号表示______．1569nA3276050401568526241207205040403205.证明：（1）11mmnnAnA（2）8767876787AAAA6．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有种不同的种植方法？7．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有种不同的方法？24603443224A3554360A8、某段铁路上有12个车站，共需要准备多少种普通客票？每张票对应着2个车站的一个排列2121211132NA解：9、某信号兵用红,绿,蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可挂一面,二面,三面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可表示多少种不同的信号?解：N=6+6+3=15信号分三类，第一类为3面旗组成的信号，共种，第二类为2面旗组成的信号，共种，第三类为1面旗组成的信号，共种，由加法原理得33A23A13A排列的性质：①11mmnnAnA；②111mmmnnnAmAA.性质①是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素．分两步骤完成：第一步从n个元素中选出1个排在一个位置上，第二步从余下的n－1个元素中选出m－1个元素排在余下的m－1个位置上，得到11mmnnAnA性质②是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素．不分步用分类的方法解决也可以，此类问题，无非分两类情况．第一类：m个元素中含有a，分两步完成．(1)将a排在某一位置上，有m种不同的方法．(2)从其余n－1个元素中取出m－1个排在其他m－1个位置有Am－1n－1种方法，即有mAm－1n－1种不同的方法．第二类：m个元素中不含有a.从n－1个元素中取出m个元素排在m个位置上有Am－1n－1种方法，∴Amn＝mAm－1n－1＋Amn－1或∵Amn－Amn－1＝n·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)－(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n－m)＝m[(n－1)(n－2)…(n－m＋1)]＝mAm－1n－1∴Amn＝mAm－1n－1＋Amn－1.2020年6月3日星期三你学会了吗?※对自己说，你有什么收获？※对同学说，你有什么提示？※对老师说，你有什么疑惑？2、当元素较少时，可以根据排列的意义列出所有的排列(枚举法）,那么怎样更快地写出排列数呢?“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志.一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”，1、排列的定义中包含两个基本内容：mnA=?必做题:《教材》P27A组第1、3、4、5、7题1次2020年6月3日【预习】课本P14-P20《排列》选做题:《教材》P27A组第6、8题例、解方程：322100xxAA17161554mnA例、若，则,m.n1417解：原方程可化为2x(2x-1)(2x-2)=100x(x-1)∵x≠0,x≠1∴2x-1=25解得x=13经检验x=13是原方程的根。类型3：含排列数方程(或不等式)的解法