弹性力学第七章-主应力-共34页

第七章空间问题的基本理论NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程第七章空间问题的基本理论概述§7-1平衡微分方程§7-2物体内一点的应力状态§7-3主应力最大与最小主应力§7-4几何方程与物理方程§7-5轴对称问题的基本方程NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程概述弹性力学基本方程建立了弹性力学问题的数学模型，为求解弹性力学奠定了基础。虽然这些方程的直接求解十分困难，只有小部分可以得到分析解，这些解已经有了广泛的应用，更为重要的是这些方程的建立为有限元、边界元等数值计算提供了基础。弹性力学基本方程的求解一般是在一定条件下，对问题进行简化，化简方程再进行求解，简化后一般可分为平面问题，轴对称问题、球对称问题。NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为空间球对称问题和空间轴对称问题。一、球对称问题，，，0RuR，0ijij0uuR，R，当弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一点（过这一点的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一点，称为球对称问题，球对称问题的弹性体的形状只能是圆球或空心球。球对称问题概述在球对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标的函数。NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程概述如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称与某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题，轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间。在轴对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标ρ、Z的函数，与φ无关。轴对称问题ρ二、轴对称问题0z,uuz，,,,zz，0zz，,zzuuz，0u，,,,zz，NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7－1平衡微分方程NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7－1平衡微分方程bx000yxxzxxyyzybyyzxzzbzFxyzFxyzFxyz图7－1由受力平衡000xyzFFF，，平衡微分方程NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7－1平衡微分方程由力矩平衡0M切应力互等00yxxxxyyyfxyfxybx000yxxzxxyyzybyyzxzzbzFxyzFxyzFxyz二维三维NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7-2物体内一点的应力状态NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7－2物体内一点的应力状态方向余弦：cos()cos()cos()nxlnymnzn，，，xyxzxxxyyzyyxyyzzzlmnplmnplmnp（7-2）受力平衡，得到全应力分量斜面上的正应力和切应力222222nxyznxyzyzzxxylpmpnplmnmnnllm（7-3）22222222222nnxyznxyznppppppp（7-4）NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程方向余弦：cos()cos()cos()nxlnymnzn，，，§7－2物体内一点的应力状态如果ABC是边界面，成为面力分量,,xyzppp,,xyzfff空间问题的应力边界条件xyxzxxsxyyzyysxzyzzzslmnflmnflmnf（7-5）（在上）sNORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7-3主应力，最大与最小应力NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程,,xyzplpmpnxyxzxxyyzyxyyzzlmnllmnmlmnn0xyxzxxyyzyxzyzz设主应力与全应力分量的关系：§7－3主应力最大与最小应力xxzxyyyxyzzzyzxxyzoabcPn代入（7-2）式：整理000xyxzxxyyzyxyyzzlmnlmnlmn2221lmn由于所以，不全为零,,lmnNORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7－3主应力最大与最小应力3222222220xyzyzzxxyyzzxxyxyzxyzyzxzxyyzzxxy（7-6）（7－6）即为求主应力公式设是方程（7-6）的三个根，则：123,,1230321232331121230与（7-6）式比较，则：上式为应力状态的三个不变量123222223311222231232xyzyzzxxyyzzxxyxyzxyzyzxzxyyzzxxy（7－7）NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程当求得主应力以后，利用下式求主方向()0()0()0xyxzxxyyzyxyyzzlmnlmnlmn为了求1相应的方向余弦，111,,lmn利用上式的任意二式11111111()0()0xyxzxxyyzylmnlmn将二式除以1l1111111111()0()0xyxzxxyyzymnllmnll（c）§7－3主应力最大与最小应力NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程1111111111()0()0xyxzxxyyzymnllmnll可以求得1111,mnll的比值，再利用2221lmn求出：122111111lmnll同样也可以求出其他主应力的方向余弦。§7－3主应力最大与最小应力NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7-4几何方程及物理方程NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程（7－8）xyzuvwxyz，，111,,222yzzxxywvuwvuyzzxxyijjiijxuxu21§7－4几何方程及物理方程空间问题的几何方程或写称这种形式空间问题的位移边界条件,,sssuuvvww（7－9）NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7－4几何方程及物理方程物理方程1,1,1,111,,xxyzyyzxzzxyyzyzzxzxxyxyEEEGGG（7－12）其中：21EGNORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7－4几何方程及物理方程体积应变：单位体积的体积改变对于一个平行六面体微元1111xyzxyzxyzxyyzzxxyzdxdxdydydzdzdxdydzdxdydz略去高阶小量xyz体积应变uvwxyz用位移表示的体积应变NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7－4几何方程及物理方程体积应力把物理方程（7－12）的前三项相加12xyzxyzE令xyz体积应力12E（7－13）其中称为体积模量12ENORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7－4几何方程及物理方程物理方程的另外一种表达形式xyze其中：21EG,112,112,112xxyzyzyyzxzxzzxyxyEeGEeGEeG,,yzyzzxzxxyxyGGG（7－14）NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7－4几何方程及物理方程小结：对于空间问题，们有15个未知函数：6个应力分量，6个应变分量3个位移分量。15个未知函数在弹性体区域内应该满足15个独立的基本方程：3个平衡微分方程，6个几何方程，6个物理方程，此外还要满足位移边界条件和应力边界条件。NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7－5轴对称问题的基本方程NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7－5轴对称问题的基本方程轴对称问题：在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间。在轴对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标的函数，与无关。,z,,,,0zzuuzuuzu位移分量：,,,;zz0zz应力分量：0z,,,;zz应变分量：NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7－5轴对称问题的基本方程问题描述：图7－4－1如图7－4－1，在圆柱（圆筒或半空间）取出一个微元PABC建立如图所示的坐标系（直角坐标和柱坐标）NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7－5轴对称问题的基本方程分析面上的应力情况，如图7－4－2和7－4－3所示z-0F由得220zzzddddzddzddzdzddddfdddzz－图7－4－2图7－4－3NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7－5轴对称问题的基本方程化简，并略去微量：0zfz＋将六面体的受力投影到z轴上得到另外一个平衡方程0zzzzzzzddddzddzdzddddfdddzz化简，并略去微量：0zzzzfzNORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7－5轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的平衡微分方程00zzzzzfzfz＋（7－15）NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学简明教程§7－5轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的几何方程通过§2－4和§4－2中同样的分析，,,zuuuz由径向位移引起的变形u由轴向位移引起的变形zu,zzzzuuz