1.1.2平面直角坐标系中的伸缩变换

新课标人教版课件系列《高中数学》选修4－41.1.1《平面直角坐标系》请同学们阅读教材选修4-4P1-4建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？xO2y=sinxy=sin2x二.平面直角坐标系中的伸缩变换思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，就得到正弦曲线y=sin2x.12通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。1坐标对应关系为：112xxyy上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来，得到点12,pxy（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。O2y=sinxy=3sinxyx在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。223xxyy设点P（x,y）经变换得到点为,pxy（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。O2y=sinxy=3sin2xyx在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.12设点P（x,y）经变换得到点为通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。3（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。3123xxyy定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换'(0):'(0)xxyy的作用下，点P(x,y)对应称为平面直角坐标系中的伸缩变换。4注（1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。0,0,pxy例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。（1）2x+3y=0;(2)x2+y2=1213xxyy解：由伸缩变换代入2x+3y=01213xxyy得得x+y=023xxyy22代入x+y=1得2249xy+=11222133xxxxyyyy由伸缩变换得1.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线0xxyy1解：设伸缩变换，22代入x+y=1得22221xy224936xy又1312则1312xxyy得221xy2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换后，曲线C变为，求曲线C的方程并画出图形。3xxyy2299xy22得9x-9y=922即x-y=122x-9y=93xxyy2.解：将代入3将曲线C经过伸缩变换x′＝2xy′＝13y后对应图形的方程为x2－y2＝1，则曲线C的焦点坐标为________．解析：由条件知点(2x，13y)在曲线x2－y2＝1上，∴4x2－y29＝1，∵a2＝14，b2＝9，∴c2＝a2＋b2＝374，∴c＝372，∴焦点坐标为(±372，0)．4．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x′＝12x，y′＝3y，则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为________．解析：∵x′＝12x，y′＝3y，∴x＝2x′，y＝13y′.代入y＝sinx得y′＝3sin2x′.答案：y′＝3sin2x′课堂小结：（1）体会坐标法的思想，应用坐标法解决几何问题；（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。作业：2.1.2平面直角坐标系的伸缩变换1.5.5圆锥曲线专题五