《平面向量》测试题及答案(1)

1平面向量一、选择题1.若三点P（1，1），A（2，-4），B（x,-9）共线，则（）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k）B.(-k5,-k4)C.(-10,2)D.(5k,4k)3.若点P分AB所成的比为43，则A分BP所成的比是（）A.73B.37C.-37D.-734.已知向量a、b，a·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a与b的夹角为（）A.60°B.-60°C.120°D.-120°5.若|a-b|=32041,|a|=4,|b|=5，则向量a·b=（）A.103B.-103C.102D.106．(2009年浙江)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A.79，73B.－73，－79C.73，79D.－79，－737.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量a+x·b与b垂直，则x的值为（）A.323B.233C.2D.-528.设点P分有向线段21PP的比是λ，且点P在有向线段21PP的延长线上，则λ的取值范围是（）A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(-∞,0)D.(-∞,-21)9.设四边形ABCD中，有DC=21AB，且|AD|=|BC|，则这个四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形10.将y=x+2的图像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后，得到y=x2的图像，则a等于（）A.(2,-1)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D的坐标是（）A.(2a,b)B.(a-b,a+b)C.(a+b,b-a)D.(a-b,b-a)二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b与a共线且b与a同向，b的模为25，则b=。14.已知：|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45°，要使λb-a垂直，则λ=。215.已知|a|=3,|b|=5，如果a∥b，则a·b=。16.在菱形ABCD中，（AB+AD）·（AB-AD）=。三、解答题17.如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知AB=a,AD=b,试用a、b分别表示DC、BC、MN。18．设a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；(2)求c在a方向上的投影；(3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b.19.设e1与e2是两个单位向量，其夹角为60°，试求向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角θ。20.以原点O和A（4，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°，求点B的坐标和AB。21.已知||2a||3b,ab与的夹角为60o,53cab,3dakb,当当实数k为何值时，⑴c∥d⑵cd22.已知△ABC顶点A（0，0），B（4，8），C（6，-4），点M内分AB所成的比为3，N是AC边上的一点，且△AMN的面积等于△ABC面积的一半，求N点的坐标。3参考答案1.B2.A3.C4.C5.A6.D7.D8.A9.C10.B11.A12.C13.(4,-2)14.215.±1516.017.[解]连结ACDC=21AB=21a,……AC=AD+DC=b+21a,……BC=AC-AB=b+21a-a=b-21a,……NM=ND+DM=NA+AD+DM=b-41a,……MN=-NM=41a-b。……18．【解析】(1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a与b不共线．又a·b＝－1×4＋1×3＝－1，|a|＝2，|b|＝5，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－152＝－210.(2)∵a·c＝－1×5＋1×(－2)＝－7∴c在a方向上的投影为a·c|a|＝－72＝－722.(3)∵c＝λ1a＋λ2b，∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3)＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，∴4λ2－λ1＝5λ1＋3λ2＝－2，解得λ1＝－237λ2＝37.19.[解]∵a=2e1+e2,∴|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7,∴|a|=7。同理得|b|=7。又a·b==（2e1+e2）·(-3e1+2e2,)=-6e12+e1·e2+2e22=-27，∴cosθ=||·||·baba=7727=-21,∴θ=120°.20.[解]如图8，设B(x,y),则OB=(x,y),AB=(x-4,y-2)。4∵∠B=90°，∴OB⊥AB，∴x(x-4)+y(y-2)=0，即x2+y2=4x+2y。①设OA的中点为C，则C(2,1),OC=（2，1），CB=(x-2,y-1)∵△ABO为等腰直角三角形，∴OC⊥CB，∴2(x-2)+y-1=0，即2x+y=5。②解得①、②得3111yx或1322yx∴B(1,3)或B(3,-1)，从而AB=(-3,1)或AB=（-1,-3）21.⑴若c∥d得59k⑵若dc得1429k22.[解]如图10，ABCAMNSS△△=BACACABBACANAMsin·||·||21sin·||·||21=||·||||·||ACABANAM。∵M分AB的比为3，∴||||ABAM=43，则由题设条件得21=34||||ACAN，∴||||ACAN=32，∴||||ACAN=2。由定比分点公式得.3821)4(20,421620NNyx∴N(4,-38)。5文科数学[平面向量]一、选择题1．（全国Ⅰ)设非零向量a、b、c、满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝()A．150B．120°C．60°D．30°2．(四川高考)设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b等于()A．(7,3)B．(7,7)C．(1,7)D．(1,3)3．如图，已知AB→＝a，AC→＝b，BD→＝3DC→，用a，b表示AD→，则AD→等于()A．a＋34bB.14a＋34bC.14a＋14bD.34a＋14b4．(浙江)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A.79，73B.－73，－79C.73，79D.－79，－735．(启东)已知向量p＝(2，x－1)，q＝(x，－3)，且p⊥q，若由x的值构成的集合A满足A⊇{x|ax＝2}，则实数a构成的集合是()A．{0}B．{23}C．∅D．{0，23}6．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为32，则b等于()A.1＋32B．1＋3C.2＋32D．2＋37．(银川模拟)已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为()A．2akmB．akmC.3akmD.2akm8．在△ABC中，若BC→2＝AB→·BC→＋CB→·CA→＋BC→·BA→，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形9．已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是()A.32B.3C.158D.15710．已知D为△ABC的边BC的中点，在△ABC所在平面内有一点P，满足PA→＋BP→＋CP→＝0，设|PA→||PD→|＝λ，则λ的值为()A．1B.12C．2D.14二、填空题11．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ________.12．(皖南八校联考)已知向量a与b的夹角为120°，若向量c＝a＋b，且c⊥a，则|a||b|＝________.13．已知向量a＝(tanα，1)，b＝(3，1)，α∈(0，π)，且a∥b，则α的值为________．14．(烟台模拟)轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h、15nmile/h，则下午2时两船之间的距离是________nmile.15．(江苏高考)满足条件AB＝2，AC＝2BC的三角形ABC的面积的最大值是________．6三、解答题16．如图，已知A(2,3)，B(0,1)，C(3,0)，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，且DE平分△ABC的面积，求点D的坐标．17．(厦门模拟)已知A、B、C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα，sinα)，α∈π2，32π.(1)若|AC→|＝|BC→|，求角α的值；(2)若AC→·BC→＝－1，求2sin2α＋sin2α1＋tanα的值．18．(南充模拟)在△ABC中，已知内角A＝π3，边BC＝23，设内角B＝x，周长为y.(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；(2)求y的最大值及取得最大值时△ABC的形状．19．(福建高考)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(3，－1)，m·n＝1，且A为锐角．(1)求角A的大小；(2)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．20．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC.(1)若a＝3，b＝4，求|CA→＋CB→|的值；(2)若C＝π3，△ABC的面积是3，求AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→的值．7答案一、选择题1．B【解析】∵(a＋b)2＝c2，∴a·b＝－c22，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－12，〈a，b〉＝120°.故选B.2．A【解析】a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．3．B【解析】AD→＝AB→＋BD→＝a＋34BC→＝a＋34(AC→－AB→)＝a＋34(b－a)＝14a＋34b.4．D【解析】设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)．∵(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，∴2(y＋2)＝－3(x＋1),3x－y＝0.∴x＝－79，y＝－73，故选D.5．D【解析】∵p⊥q，∴2x－3(x－1)＝0，即x＝3，∴A＝{3}．又{x|ax＝2}⊆A，∴{x|ax＝2}＝∅或{x|ax＝2}＝{3}，∴a＝0或a＝23，∴实数a构成的集合为{0，23}．6．B【解析】由12acsin30°＝32得ac＝6，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accos30°，即b2＝4＋23，∴b＝3＋1.7．C【解析】如图，△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°.由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝a2＋a2－2a2×(－12)＝3a2，∴AB＝3a.8．B【解析】∵AB→·BC→＋CB→·CA→＋BC→·BA→＝BC→·(AB→＋BA→)＋CB→·CA→＝CB→·CA→，∴BC→2－CB→·CA→＝BC→·(BC→＋CA→)＝BC→·BA→＝0，∴∠B＝π2，∴△ABC为直角三角形．9．D【解析】设底边长为a，则腰长为2a，∴cosA＝4a2＋4a2－a22×2a×2a＝78⇒sinA＝158.∴tanA＝157，故选D.810．C【解析】∵PA→＋BP→＋CP→＝0，即PA→－PB→＋CP→＝0，即BA→＋CP→＝0，故四边形PCAB是平行四边形，∴|PA→||PD→|＝2.二、填空题11．【解析】∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．∵向量λa＋b与向量