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2014年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是（）A．a1,a3,a9成等比数列B．a2,a3,a6成等比数列C．a2,a4,a8成等比数列D．a3,a6,a9成等比数列3．（5分）已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3B．=2x﹣2.4C．=﹣2x+9.5D．=﹣0.3x+4.44．（5分）已知向量=（k,3）,=（1,4）,=（2,1）且（2﹣3）⊥,则实数k=（）A．﹣B．0C．3D．5．（5分）执行如图所示的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是（）A．s＞B．s＞C．s＞D．s＞6．（5分）已知命题p:对任意x∈R,总有2x＞0,q:“x＞0”是“x＞2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是（）A．p∧qB．（￢p）∧（￢q）C．（￢p）∧qD．p∧（￢q）7．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A．54B．60C．66D．728．（5分）设F1,F2分别为双曲线﹣=1（a＞0,b＞0）的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|•|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．39．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是（）A．72B．120C．144D．16810．（5分）已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,在下列不等式一定成立的是（）A．bc（b+c）＞8B．ab（a+b）＞16C．6≤abc≤12D．12≤abc≤24二、填空题:本大题共3小题,每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则（∁UA）∩B=．12．（5分）函数f（x）=log2•log（2x）的最小值为．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=．三、选做题:考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分14．（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点）,再作割线PBC依次交圆于B、C,若PA=6,AC=8,BC=9,则AB=．15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数）,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0,0≤θ＜2π）,则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=．16．若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是．四、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0,﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜）,求cos（α+）的值．18．（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3,从盒中任取3张卡片．（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望．（注:若三个数字a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数．）19．（13分）如图,四棱锥P﹣ABCD,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上的一点,且BM=,MP⊥AP．（Ⅰ）求PO的长；（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．20．（12分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a,b,c∈R）的导函数f′（x）为偶函数,且曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线的斜率为4﹣c．（Ⅰ）确定a,b的值；（Ⅱ）若c=3,判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）有极值,求c的取值范围．21．（12分）如图,设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上．DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径．22．（12分）设a1=1,an+1=+b（n∈N*）（Ⅰ）若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若b=﹣1,问:是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立,证明你的结论．2014年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•重庆）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据复数乘法的运算法则,我们可以将复数Z化为a=bi（a,b∈R）的形式,分析实部和虚部的符号,即可得到答案．【解答】解:∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i∵复数Z的实部2＞0,虚部1＞0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选A【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义,其中根据复数乘法的运算法则,将复数Z化为a=bi（a,b∈R）的形式,是解答本题的关键．2．（5分）（2014•重庆）对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是（）A．a1,a3,a9成等比数列B．a2,a3,a6成等比数列C．a2,a4,a8成等比数列D．a3,a6,a9成等比数列【分析】利用等比中项的性质,对四个选项中的数进行验证即可．【解答】解:A项中a3=a1•q2,a1•a9=•q8,（a3）2≠a1•a9,故A项说法错误,B项中（a3）2=（a1•q2）2≠a2•a6=•q6,故B项说法错误,C项中（a4）2=（a1•q3）2≠a2•a8=•q8,故C项说法错误,D项中（a6）2=（a1•q5）2=a3•a9=•q10,故D项说法正确,故选D．【点评】本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断．3．（5分）（2014•重庆）已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3B．=2x﹣2.4C．=﹣2x+9.5D．=﹣0.3x+4.4【分析】变量x与y正相关,可以排除C,D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．【解答】解:∵变量x与y正相关,∴可以排除C,D；样本平均数=3,=3.5,代入A符合,B不符合,故选:A．【点评】本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．4．（5分）（2014•重庆）已知向量=（k,3）,=（1,4）,=（2,1）且（2﹣3）⊥,则实数k=（）A．﹣B．0C．3D．【分析】根据两个向量的坐标,写出两个向量的数乘与和的运算结果,根据两个向量的垂直关系,写出两个向量的数量积等于0,得到关于k的方程,解方程即可．【解答】解:∵=（k,3）,=（1,4）,=（2,1）∴2﹣3=（2k﹣3,﹣6）,∵（2﹣3）⊥,∴（2﹣3）•=0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0,解得,k=3．故选:C．【点评】本题考查数量积的坐标表达式,是一个基础题,题目主要考查数量积的坐标形式,注意数字的运算不要出错．5．（5分）（2014•重庆）执行如图所示的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是（）A．s＞B．s＞C．s＞D．s＞【分析】程序运行的S=××…×,根据输出k的值,确定S的值,从而可得判断框的条件．【解答】解:由程序框图知:程序运行的S=××…×,∵输出的k=6,∴S=××=,∴判断框的条件是S＞,故选:C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．6．（5分）（2014•重庆）已知命题p:对任意x∈R,总有2x＞0,q:“x＞0”是“x＞2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是（）A．p∧qB．（￢p）∧（￢q）C．（￢p）∧qD．p∧（￢q）【分析】判定命题p,q的真假,利用复合命题的真假关系即可得到结论．【解答】解:p:根据指数函数的性质可知,对任意x∈R,总有2x＞0成立,即p为真命题,q:“x＞0”是“x＞2”的必要不充分条件,即q为假命题,则p∧￢q为真命题,故选:D．【点评】本题主要考查复合命题的真假关系的应用,先判定p,q的真假是解决本题的关键,属于基础题．7．（5分）（2014•重庆）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A．54B．60C．66D．72【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥,根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据,把数据代入面积公式计算．【解答】解:由三视图知:几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥,如图:三棱柱的高为5,消去的三棱锥的高为3,三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形,∵AB⊥平面BEFC,∴AB⊥BC,BC=5,FC=2,AD=BE=5,DF=5∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60．故选:B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）（2014•重庆）设F1,F2分别为双曲线﹣=1（a＞0,b＞0）的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|•|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x,由焦半径公式有|PF1|=ex+a,|PF2|=ex﹣a,结合条件可得a=b,从而c==b,即可求出双曲线的离心率．【解答】解:不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a,|PF2|=ex﹣a,∵|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|•|PF2|=ab,∴2ex=3b,（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab,即9b2﹣4a2﹣9ab=0,∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b,∴c==b,∴e==．故选:B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质,考查了双曲线的第二定义的灵活运用,属于中档题．9．（5分）（2014•重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是（）A．72B．120C．144D．168【分析】根据题意,分2步进行分析:①、先将3个歌舞类节目全排列,②、因为3个歌舞类节目不能相邻,则分2种情况讨论中间2个空位安排情况,由分步计数原理计算每一步的情况数目,进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解:分2步进行分析:1、先将3个歌舞类节目全排列,有A33=6种情况,排好后,有4个空位,2、因为3个歌舞类节目不能相邻,则中间2个空位必须安排2个节目,分2种情况讨论:①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目,有C21A22=4种情况,排好后,最后1个小品类节目放在2端,有2种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；②将中间2个空位安排2个小品类节目,有A22=2种情况,排好后,有6个空位,相声类节目有6个空位可选,即有6种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120,故选:B．【点评】本题考查计数原理的运用,注意分步方法