求轨迹方程的常用方法

求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1.定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。2.直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。4.代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C为动点，且满足,sin45sinsinCAB求点C的轨迹。【变式】：已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。二：用直译法求轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2：一条线段两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，且BM=a，AM=b，求AB中点M的轨迹方程？【变式】:动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即2||||PBPA），求动点P的轨迹方程？三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。四：用代入法求轨迹方程例4.的的中点求线段为定点上的动点是椭圆点MAB，a，，AbyaxB)02(12222轨迹方程。【变式】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆BQRAPoyx五、用交轨法求轨迹方程例5.已知椭圆22221xyab（a＞b＞o）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2，求A1P1与A2P2交点M的轨迹方程.六、用点差法求轨迹方程例6.已知椭圆1222yx，（1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；练习1.在ABC中，B，C坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A的轨迹方程是_______________________________.2.两条直线01myx与01ymx的交点的轨迹方程是__________.3.已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是_____4.当参数m随意变化时，则抛物线yxmxm22211的顶点的轨迹方程为______。5:点M到点F（4，0）的距离比它到直线x50的距离小1，则点M的轨迹方程为________。6:求与两定点OOA1030，、，距离的比为1：2的点的轨迹方程为_____________7.抛物线xy42的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。8.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。9.过原点作直线l和抛物线642xxy交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。高二（上）求轨迹方程的常用方法答案例1：已知ABC的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C为动点，且满足,sin45sinsinCAB求点C的轨迹。【解析】由,sin45sinsinCAB可知1045cab，即10||||BCAC，满足椭圆的定义。令椭圆方程为12'22'2byax，则34,5'''bca，则轨迹方程为192522yx（)5x，图形为椭圆（不含左，右顶点）。【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。（1）圆：到定点的距离等于定长（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4）到定点与定直线距离相等。【变式1】:1:已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。。∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆O：122yx外切，而与圆C：08622xyx内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆C：椭圆D：双曲线一支【解答】令动圆半径为R，则有1||1||RMCRMO，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。二：用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2：一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？解设M点的坐标为),(yx由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=,22121aaAB22222,ayxayxM点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.【点评】此题中找到了OM=AB21这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式2】:动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即2||||PBPA），求动点P的轨迹方程？【解答】∵|PA|=2222)3(||,)3(yxPByx代入2||||PBPA得222222224)3(4)3(2)3()3(yxyxyxyx化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【解析】分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０）)2(14221xkyl，ll的方程为则直线由，，Axl)0k42(1的坐标为轴交点与，k，Byl)240(2的坐标为轴交点与∵M为AB的中点，)(1222421242为参数kkkykkx消去k，得x＋2y－5＝0。另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程；当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。分析2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性：||21||ABMP解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y），∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形||21||ABMP，由直角三角形的性质2222)2()2(·21)4()2(yxyx化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。分析3：：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法3：设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2∴PA⊥PB，从而kPA·kPB＝－1，02242204y，kxkPBPA而0521224·224yxyx，化简，得注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4）中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。【点评】1）解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直译法，运用了kPA·kPB＝－1，||21||ABMP这些等量关系。。用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式3】过圆O：x2+y2=4外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。解法一：“几何法”设点M的坐标为（x,y）,因为点M是弦BC的中点，所以OM⊥BC,所以|OM|２＋|ＭＡ|２＝|ＯＡ|２，即(x2+y2)+(x－４)2+y2=16化简得：（x－2）2+y2=4................................①由方程①与方程x2+y2=4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为（x－2）2+y2=4（0≤x＜1）。所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆在圆O内的部分。解法二：“参数法”设点M的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线AB的方程为y=k(x－4),由直线与圆的方程得（1+k2）x2－8k2x+16k2－4=0...........(*),由点M为BC的中点，所以x=2221142kkxx...............(1),又OM⊥BC，所以k=xy.................(2)由方程（1）（2）消去k得（x－2）2+y2=4,又由方程（*）的△≥0得k2≤31,所以x＜1.所以点M的轨迹方程为（x－2）2+y2=4（0≤x＜1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆在圆O内的部分。四：用代入法等其它方法求轨迹方程例4.的的中点求线段为定点上的动点是椭圆点MAB，a，，AbyaxB)02(12222轨迹方程。分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0）则由M为线段AB中点，可得