离散型随机变量及其方差

12.3.2离散型随机变量的方差1．下面说法中正确的是（）A．离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值B．离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了ξ取值的平均水平C．离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映了ξ取值的平均水平D．离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D（X甲）＝11，D（X乙）＝3.4，由此可以估计（）A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较3．已知X～B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝1.6，则n，p的值分别为（）A．100，0.8B．20，0.4C．10，0.2D．10，0.84．已知ξ的分布列如下表，则D（ξ）的值为（）ξ1234P14131614A.2912B.121144C.179144D.17125．设一随机试验的结果只有A和A，且P（A）＝m，令随机变量ξ＝1,,0,,AA发生不发生则ξ的方差D（ξ）等于（）A．mB．2m（1－m）C．m（m－1）D．m（1－m）6．设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝21C33knkkn，k＝0，1，2，…，n，且E（ξ）＝24，则D（ξ）的值为（）A．8B．12C．29D．167．甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中目标的概率为23，乙命中目标的概率为45，设命中目标的人数为X，则D（X）等于（）A.86225B.259675C.2215D.15228．已知随机变量X的分布列为P（X＝k）＝13，k＝1，2，3，则D（3X＋5）＝（）A．6B．9C．3D．429．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为X012P12pp12则E（X）的最大值为_______，D（X）的最大值为_____．10．若随机变量ξ的分布列如下表：ξ01xP15p310且E（ξ）＝1.1，则D（ξ）＝________．11．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个题目选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分．某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．12．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．（1）若抛掷一次，求E（X）和D（X）；（2）若抛掷10次，求E（X）和D（X）．13．在12件同类型的零件中有2件次品，抽取3次进行检验，每次抽取1件，并且取出后不再放回，若以ξ和η分别表示取到的次品数和正品数．（1）求ξ的分布列、均值和方差；（2）求η的分布列、均值和方差．14．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1,2,3,4），现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.（1）求X的分布列，均值和方差；（2）若Y＝aX＋b，E（Y）＝1，D（Y）＝11，试求a，b的值．3参考答案1．C【解析】离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映ξ取值的平均水平，它的方差反映ξ的取值的离散程度．故选C.考点：期望与方差表达的含义.2．B【解析】∵D（X甲）D（X乙），∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．考点：方差的实际应用.3．C【解析】由题意可得2,11.6,npnpp解得p＝0.2，n＝10.故选C.考点：二项分布的期望与方差.4．C【解析】E（ξ）＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2912，D（ξ）＝229112×14＋229212×13＋229312×16＋229412×14＝179144.故选C.考点：离散型随机变量的期望与方差.5．D【解析】随机变量ξ的分布列如下表：ξ01P1－mm则E（ξ）＝0×（1－m）＋1×m＝m，D（ξ）＝（0－m）2×（1－m）＋（1－m）2×m＝m（1－m）．考点：两点分布的期望与方差.6．A【解析】由题意可知ξ～2,3Bn，∴23n＝E（ξ）＝24，∴n＝36.∴D（ξ）＝22361833.故选A.考点：二项分布的期望与方差.7．A【解析】X可取0，1，2，P（X＝0）＝1113515，P（X＝1）＝242421135355，P（X＝2）＝2483515，∴E（X）＝2215，D（X）＝86225.故选A.考点：离散型随机变量的期望与方差.8．A4【解析】E（X）＝（1＋2＋3）×13＝2，D（X）＝[（1－2）2＋（2－2）2＋（3－2）2]×13＝23，∴D（3X＋5）＝9D（X）＝6.故选A.考点：方差的运算.9．32；1【解析】E（X）＝0×12p＋1×p＋2×12＝p＋1，∵0≤12－p≤12，0≤p≤12，∴E（X）≤32，D（X）＝（p＋1）2·12p＋p2·p＋（p－1）2×12＝－p2＋1－p＝21524p≤1.考点：期望与方差的运算.10．0.49【解析】由分布列性质得：13115102p，E（ξ）＝0×15＋1×12＋x×310＝1.1，解得x＝2，∴D（ξ）＝（0－1.1）2×15＋（1－1.1）2×12＋（2－1.1）2×310＝0.49.考点：期望与方差的运算.11．60，96【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数（成绩）为Y，则Y＝4X，由题意知X～B（25,0.6），所以E（X）＝25×0.6＝15，D（X）＝25×0.6×0.4＝6，E（Y）＝E（4X）＝4E（X）＝60，D（Y）＝D（4X）＝42×D（X）＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.考点：二项分布的期望与方差.12．见解析【解析】（1）X服从二点分布：X01P1212所以E（X）＝12，D（X）＝p（1－p）＝1111224.（2）依题意可知，X～110,2B，∴E（X）＝np＝10×12＝5，D（X）＝np（1－p）＝10×1151222.考点：二项分布的期望与方差.513．见解析【解析】（1）ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝310312C6C11，p（ξ＝1）＝12210312CC9C22，P（ξ＝2）＝21210312CC1C22.所以ξ的分布列为：ξ012P611922122E（ξ）＝0×611＋1×922＋2×122＝12，D（ξ）＝2226191111501211222222244.（2）η的取值可以是1，2，3，且有ξ＋η＝3，∴P（η＝1）＝P（ξ＝2）＝122，P（η＝2）＝P（ξ＝1）＝922，P（η＝3）＝P（ξ＝0）＝611，所以η的分布列为：η123P122922611E（η）＝E（3－ξ）＝3－E（ξ）＝3－12＝52，D（η）＝D（3－ξ）＝（－1）2×D（ξ）＝1544.考点：离散型随机变量的期望与方差.14．见解析【解析】（1）X的分布列为：X01234P1212011032015故E（X）＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D（X）＝（0－1.5）2×12＋（1－1.5）2×120＋（2－1.5）2×110＋（3－1.5）2×320＋（4－1.5）2×15＝2.75.6（2）由D（Y）＝a2D（X），得a2×2.75＝11，即a＝±2，又E（Y）＝aE（X）＋b，故当a＝2时，1＝1.5×2＋b，解得b＝－2；当a＝－2时，1＝－2×1.5＋b，解得b＝4.因此，2,2,ab或2,4.ab考点：离散型随机变量的期望与方差.