定积分的物理应用

1xoy0MAnMB1M2M1nM设A、B是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点BMMMMMAnni,,,,,110并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长||11niiiMM的极限存在，则称此极限为曲线弧AB的弧长.1、平面曲线弧长的概念平面曲线的弧长定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.2设曲线弧为)(xfy)(bxa，其中)(xf在],[ba上有一阶连续导数xoyabxdxx取积分变量为x，在],[ba上任取小区间],[dxxx，以对应小切线段的长代替小弧段的长dy小切线段的长22)()(dydxdxy21弧长元素dxyds21弧长21.basydx2、直角坐标情形3例1计算曲线2332xy上相应于x从a到b的一段弧的长度.解,21xydxxds2)(121,1dxx所求弧长为dxxsba1].)1()1[(322323abab4曲线弧为,)()(tytx)(t其中)(),(tt在],[上具有连续导数.22)()(dydxds222))](()([dtttdttt)()(22弧长22()().sttdt3、参数方程情形5例3求星形线323232ayx)0(a的全长.解星形线的参数方程为taytax33sincos)20(t根据对称性14ssdtyx20224dttta20cossin34.6a第一象限部分的弧长aaoyx6曲线弧为)()(rr其中)(在],[上具有连续导数.sin)(cos)(ryrx)(22)()(dydxds,)()(22drr弧长22()().srrd4、极坐标情形7例5求极坐标系下曲线33sinar的长.)0(a解drrs)()(22313cos3sin32ar,3cos3sin2a.23adaa242623cos3sin3sin30d23sin30a0()38例6求阿基米德螺线ar)0(a上相应于从0到2的弧长.解,ardrrs)()(22.)412ln(412222a20daa22220ad129(1)曲线弧由直角坐标方程给出:所求弧长21dbasyx21()dbafxx(2)曲线弧由参数方程给出:所求弧长22()()dsttt小结10(3)曲线弧由极坐标方程给出:()cos,()sin,xryr令因此所求弧长22()()dsrr22[()][()]dxy22()()drr则得ds弧长元素(弧微分):111、求心形线)cos1(ar的全长.2、证明：曲线xysin)20(x的弧长等于椭圆2222yx的周长.课堂练习题12第六章定积分的应用第三节定积分在物理学上的应用13一、变力沿直线作功二、水的压力三、引力定积分物理学上的应用14由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为sFW.如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想.一、变力沿直线所作的功15变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x＝a移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.xabxxxd在其上所作的功元素为d()dWFxx因此变力F(x)在区间上所作的功为()dbaWFxx16例1把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为2rqkF（k是常数），当这个单位正电荷在电场中从ar处沿r轴移动到br处时，计算电场力F对它所作的功．17解取r为积分变量，roqab1r],,[bardrr取任一小区间],[drrr,功元素,2drrkqdw所求功为drrkqwba2barkq1.11bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa2arkq1limbkqkqba.akq18点击图片任意处播放\暂停例2一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？解建立坐标系如图xoxdxx取x为积分变量，]5,0[x5取任一小区间],[dxxx,19xoxdxx5这一薄层水的重力为23gdx功元素为9,dwgxdx509wgxdx52092xg112.5g(千焦)．20例3.设有半径为R的半球形容器如图.(1)以每秒a升的速度向空容器中注水,求水深为为h(0hR)时水面上升的速度.(2)设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最少应为多少?解:过球心的纵截面建立坐标系如图.oxy则半圆方程为hR设经过t秒容器内水深为h,()hht则21oxyhR(1)求由题设,经过t秒后容器内的水量为而高为h的球缺的体积为半球可看作半圆绕y轴旋转而成体积元素:yxd2222yyRx()Vh20(2)dhRyyy故有两边对t求导,得2(2)Rhha2(2)aRhhat(升),22(2)将满池水全部抽出所做的最少功为将全部水提对应于yxd2微元体积:微元的重力:yxdg2薄层所需的功元素oxRy2g(2)()dRyyRyy故所求功为0gR223(23)dRyRyyy4g4Ry到池沿高度所需的功.23解设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf第一次锤击时所作的功为101)(dxxfw,2k.)(0hhdxxfw例4用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第次锤击时又将铁钉击入多少？n设次击入的总深度为厘米hn次锤击所作的总功为n24hhkxdxw0,22kh依题意知，每次锤击所作的功相等．1nwwh22kh,2kn,nh.1nn次击入的总深度为n第次击入的深度为n25由物理学知道，在水深为h处的压强为pgh，这里是水的密度．如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一侧所受的水压力为ApP．如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强p不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而采用“元素法”思想．二、水压力26例5一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的密度为，计算桶的一端面上所受的压力．解在端面建立坐标系如图xo取x为积分变量，],0[Rx取任一小区间],[dxxxxdxx小矩形片上各处的压强近似相等小矩形片的面积为.222dxxR,pgx27小矩形片的压力元素为222dPgxRxdx端面上所受的压力2202RPgxRxdx22220()RgRxdRx322023RgRx32.3gR28例6将直角边各为a及a2的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长为2a的与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板每侧面所受的压力．解建立坐标系如图xoa2a2a面积微元,)(2dxxa(2)2()dPgxaaxdx02(2)()aPgxaaxdx37.3ga29由物理学知道，质量分别为21,mm相距为r的两个质点间的引力的大小为122mmFGr，其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向．比如要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的。三、引力若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决.30例7有一长度为l、线密度为的均匀细棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M，计算该棒对质点M的引力．2l2lxyoMa解建立坐标系如图取y为积分变量取任一小区间],[dyyy,2,2lly将典型小段近似看成质点小段的质量为,dyrydyy31小段与质点的距离为,22yar引力22,mdyFGay水平方向的分力元素cosxdFdF222322()xllamdyFGay22122,(4)Gmlaal由对称性知，引力在铅直方向分力为.0yF22,mdydFGay2l2lxyoMarydyy2232()amdyGayadFr321.半径为的球沉r入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需要作多少功？2.一块a高为，b底为的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力.课堂练习题