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CUMCM2003A题SARS的传播SARS(SevereAcuteRespiratorySyndrome，严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：1)对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。2)建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里?对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。3)收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。4)给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。B题露天矿生产的车辆安排铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地。许多现代化铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车(以下简称电铲)装车、电动轮自卸卡车(以下简称卡车)运输来完成。提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务。露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。一般来说，平均铁含量不低于25％的为矿石，否则为岩石。每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量(称为晶位)都是已知的。每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5分钟。卸货地点(以下简称卸点)有卸矿石的矿石漏、2个铁路倒装场(以下简称倒装场)和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。从保护国家资源的角度及矿山的经济效益考虑，应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量(假设要求都为29．5％1％，称为品位限制)搭配起来送到卸点，搭配的量在一个班次(8小时)内满足品位限制即可。从长远看，卸点可以移动，但一个班次内不变。卡车的平均卸车时间为3分钟。所用卡车载重量为154吨，平均时速28。卡车的耗油量很大，每个班次每台车消耗近1吨柴油。发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班次中只在开始工作时点火一次。卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生卡车等待的情况。电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。卡车每次都是满载运输。每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60的双向车道，不会出现堵车现象，每段道路的里程都是已知的。一个班次的生产计划应该包含以下内容：出动几台电铲，分别在哪些铲位上；出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次(因为随机因素影响，装卸时间与运输时间都不精确，所以排时计划无效，只求出各条路线上的卡车数及安排即可)。一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量(品位)要求，而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一：1．总运量(吨公里)最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小；2．利用现有车辆运输，获得最大的产量(岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解)。请你就两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法。针对下面的实例，给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量。某露天矿有铲位10个，卸点5个，现有铲车7台，卡车20辆。各卸点一个班次的产量要求：矿石漏1．2万吨、倒装场11．3万吨、倒装场Ⅱ1．3万吨、岩石漏1．9万吨、岩场1．3万吨。铲位和卸点位置的二维示意图如下，各铲位和各卸点之间的距离(公里)如下表铲位1铲位2铲位3铲位4铲位5铲位6铲位7铲位8铲位9铲位10矿石漏5.265.194.214.002.952.742.461.900.641.27倒装场I1.900.991.901.131.272.251.482.043.093.51岩场5.895.615.614.563.513.652.462.461.060.57岩石漏0.641.761.271.832.742.604.213.725.056.10倒装场II4.423.863.723.162.252.810.781.621.270.50各铲位矿石、岩石数量（万吨）和矿石的平均铁含量如下表铲位1铲位2铲位3铲位4铲位5铲位6铲位7铲位8铲位9铲位10矿石漏0.951.051.001.051.101.251.051.301.351.25岩石量1.251.101.351.051.151.351.051.151.351.25铁含量30%28%29%32%31%33%32%31%33%31%露天矿生产的车辆安排于俊泊，肖川，楚玉强指导教师：韩铁民（东北大学，沈阳110004）编者按：面对问题既要选择铲位，又要考虑产量、晶位限制，及车辆不等待等诸多要求，本文将问题分为几个阶段用不同方法处理，达到了满意的效果。文章精炼，论述清晰。摘要：如何利用最小的资源消耗取得理想的产量要求,是本文讨论的重点问题。文章采用两种方法——贪心法和线性规划建立模型，针对两个目标进行安排。第1阶段：采用贪心法按距离、产量、晶位等要求依次取得最优、次优……等若干较优的铲位，获得一些铲位的组合方案。第2阶段：对这些组合进行线性规划：以车次为变量，根据不同目标建立目标函数，根据产量等条件限制建立约束方程，然后求整数解，在这些解中取最优者。第3阶段：根据每条路线上的车次数再次利用贪心法进行具体的车辆安排。关键词：贪心法；线性规划；车次；车辆安排分类号：AMS(2000)90C05中图分类号：0221．1文献标识码：A1问题的分析变量说明M卡车总数(20辆)V卡车行驶速度(28公里L卡车载重量(154吨)T一个班次的总时间(8小时)Ta电铲的平均装车时间(5分钟)Tb卡车的平均卸车时间(3分钟)i卸点编号(5个，分别为矿石漏、倒装场I、倒装场II、岩石漏、岩场，前3个用于卸矿石，后2个卸岩石)j铲位编号(10个)Dij卸点i与铲位j之间的距离Ni卸点i的产量要求Qaj铲位j的矿石数量Qbj铲位i的岩石数量Pj铲位j的矿石平均铁含量Kij一辆卡车一个班次内在卸点i与铲位j之间可往返的次数Xij卸点i与铲位j之间需要安排的车次数如果直接从题意出发，安排运输路线是比较困难的，因为卡车的行驶路线可以改变可以通过求出每条路线的车次数达到解决问题的目的。铲车的安排方法共有(mnCn为铲位数,m为铲车数)种，计算复杂度较大，可用贪心法找出较优的若干位置，确定较优的安排方案，对这些安排方案，有如下方法：目标及各个产量要求、品位要求等均为每条路线上车次的一次函数，故可用线性规划求解。由已知条件可以得到线性规划的目标函数、约束方程。对贪心法筛选过的铲车安排方法分别求出其线性规划的最优解，然后在其中再选出最优者，可得最优的铲车安排和车次，依据车次安排每辆卡车。2模型的建立过程一——铲车安排基于分析，首先得到铲车安排方法共有710120C种，如果直接计算120种组合，耗时太多，通过分析，最优解只可能存在于一些较优的组合中，可以采用贪心法获得这些组合。贪心法的思想是：每次选择当前最优的点，如不满足条件，再选择次优点，以此类推。通过分析知，卡车应先选择距离卸点最近的铲位，才能以最小的运量获得足够的产量，若此铲位不能满足产量要求，再取次近的铲位，若不能达到品位要求，还需要选择可以平衡品位的点。如本题的实例，先选取距离矿石漏最近的铲位9，铲位9可满足产量，但无法满足品位要求，再选择可均衡品位的最近的点——铲位3。同理，选择距离倒装场I的较近铲位2，铲位4，距离倒装场II较近的铲位10，平衡品位的铲位1……确定1，2，3，4，9，10六个最优点，再从剩下的四个点中选取一个即可，经过这种方法筛选后的铲车安排方法为二4种。对于筛选后的方法，用线性规划逐一建立模型求解，下面以将铲车安排在1，2，3，4，5，6，7铲位为例(非上文提到的较优组合，仅作举例说明)：过程二——线性规划求解车次1．针对目标1建立模型目标函数总运量5711minijijijZLDX约束方程：1)各个卸点的产量要求：71,(1,2,3,4,5)ijijLXNi2)各个卸点的品位要求：下限771128.5%(1,2,3)ijjijjjLXPLXi（2）上限771130.5%(1,2,3)ijjijjjLXPLXi（3）3）各个铲位的矿石（岩石）数量，即该铲位允许的最大矿石（岩石）开采量矿石31(1,2,3,4,5,6,7)ijajiLXQj（4）岩石54(1,2,3,4,5,6,7)ijbjiLXQj（5）4)由于铲车每次装载需Ta分钟，故一个班次内最多可装载T／Ta：480／5二96次：51/(1,2,3,4,5,6,7)ijiXTTaj（6）5)同理，由于卸点每次卸载需Tb分钟，故一个班次内最多可卸载T／Tb=480／3：=160次71/(1,2,3,4,5)ijjXTTbj（7）6)由于一辆卡车在卸点i与铲位j之间往返行驶一次需2Dij/V分钟，装卸需Ta+Tb分钟，共需Ta+Tb+2Di／V分钟，这条线路上一辆卡车一个班次内可往返[/(2/)]ijijKTTaTbDV次([]表示取整)，则该线路需要卡车/ijijXK辆，卡车总数最多不能超过M=20辆:5711/ijijijXKM（8）至此目标函数及约束方程构造完毕。由于车次数为整数，此题转化为对整数规划的求解。题目中还要求在总运量最小的情况下出动最少的卡车，在解上述线性规划时，如果有多组解满足总运量最小，需要取5711min/ijijijZXK，即卡车总数最少的解。在对筛选过的安排方法进行线性规划后，取其中总运量最小的解，即为题目所求。2．针对目标2建立模型目标2与目标1的主要区别是目标函数不同，其约束方程相同，只须改变目标函数即可。目标函数产量5711minijijZLX约束方程：(同目标1)如有多组解满足最大产量，依题目要求取5711minijijZLX，即岩石产量优先果岩石产量相同，依题取5711minijijijZLDX，即总运量最小的解。过程三——车辆安排选取最优解中每条路线的车次，即可为每辆卡车安排行驶路线及运输次数。由5711/ijijijXK可知共需要多少卡车。可再次采用贪心法，使每辆卡车发挥最大工效，先安排国家路线的卡车，然后安排改变路线的卡车。以下面一组解为例，具体说明卡车的安排方法：每条路线上的车次见表1表1铲位1铲位2铲位3铲位4铲位5铲位6铲位7铲位8铲位9铲位10矿石漏0130000054011倒装场I042043000000岩场000000007015岩石漏810430000000倒装场II013200000070由5711/ijijijXK求得需要13辆卡车通过[/ijijXK]，使固定运行的卡车尽可能地往返于卸点和铲位之间，求出每条路线上固定运行的卡车数，见表2表2Ij路线卡车数1—8矿石漏—铲位812—2倒装场I—铲位212—4倒装场I—铲位413—10倒装场II—铲位1014—1岩石漏—铲位114—3岩石漏—铲位315—9岩场—铲位91固定运行的卡车共7辆，其它6辆车需要改变工作路线。此时每条线上剩余的车次见表3表3Ij路线卡车数1—2矿石漏—铲位2131—8矿石漏—铲位8251—10矿石漏—铲位10112—2倒装场I—铲位232—4倒装场I—铲位463—2倒装场II—铲位2133—3倒装场II—铲位323—10倒装场II—铲位10234—1岩石漏—铲位1374—3岩石漏—铲位385—9岩场—铲位9325—10岩场—铲位1015在改变路线的6辆车中：第一辆：在1-2线路运输3次，剩余时间T-13（212/TaTbDV）=87分钟，可以继续在1-8线路运输87/（218/TaTbDV）