因式分解

中国最负责的教育品牌1私塾国际学府学科教师辅导教案组长审核：学员编号：ssxc00191年级：八年级课时数：3学员姓名：杨欣悦辅导科目：数学学科教师：俎露授课主题因式分解教学目的1.掌握因式分解的解题方法2.灵活运用解题方法解决因式分解问题教学重点遇到因式分解问题能够具体分析、展开思路授课日期及时段2016.04.09.13:00-15:00教学内容上节回顾：直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，CD=3，AD=4，CH/BH=CQ/MQ=2，过点C作CH⊥AB，垂足为H．点P为线段AD上一动点，直线PM∥AB，交BC、CH于点M、Q．以PM为斜边向右作等腰Rt△PMN，直线MN交直线AB于点E，直线PN交直线AB于点F．设PD的长为x，EF的长为y．⑴求PM的长(用x表示)；⑵求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围(图13为备用图)；⑶当点E在线段AH上时，求x的取值范围(图14为备用图)．中国最负责的教育品牌2因式分解常用方法：1.公式法：常用公式：（1）a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；（3）a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；（5）x²+（p+q)x+pq=（x+p)（x+q)不常用公式：（6）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；（7）a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；（8）an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；（9）an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；（1）an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数。注意：运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例一：分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4(2)x3-8y3-z3-6xyz(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab(4)a7-a5b2+a2b5-b7例二：分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1中国最负责的教育品牌3特殊的公式法：二元二次六项式(ax²+bxy+cy²+dx+ey+f)，1）十字相乘法例一：分解因式2x²-7xy-22y²-5x+35y-3变式一：分解因式：(1)x²-3xy-10y²+x+9y-2；(2)x²-y²+5x+3y+4；(3)xy+y²+x-y-2；(4)6x²-7xy-3y²-xz+7yz-2z²2）待定系数法例一：分解因式：（1）x²+3xy+2y²+4x+5y+3（2）x4-2x²-27x²-44x+7中国最负责的教育品牌4变式：分解因式（1)2x²+3xy-9y²+14x-3y+20；（2)x4+5x3+15x-92.拆项、添项法：通过拆分或者添加因式发现规律，再通过公式法或者提取公因式进行因式分解。例一：分解因式：x3-9x+8解法1将常数项8拆成-1+9．解法2将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-9x-1+9原式=x3-x-8x+8=(x3-1)-9x+9=(x3-x)+(-8x+8)=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)=(x-1)(x2+x-8)解法3将三次项x3拆成9x3-8x3．解法4添加两项-x²+x²原式=9x3-8x3-9x+8原式=x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=x3-x²+x²-9x+8=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=x²(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x²+x-8)=(x-1)(x²+x-8)说明：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种。中国最负责的教育品牌5变式一：分解因式(1)9x+6x+3x-3；(2)(m²-1)(n²-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x²-1)²+(x-1)4；(4)a4b-ab4+a²+b²+13.换元法：换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰。例一：分解因式：（1）(x²+x+1)(x²+x+2)-12(x²+3x+2)(4x²+8x+3)-90（2）(x²+4x+8)²+3x(x²+4x+8)+2x²6x4+7x3-36x²-7x+6说明：用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式。变式二：分解因式：(x²+xy+y²)-4xy(x²+y²)中国最负责的教育品牌6多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。变式一：因式分解222222yx4zyx）（22444x101y3x1y4x））（（2x²+7xy+3y²-5x-2x3+9x²+26x+24变式二：(x+50)(x+6)(x+10)(x+12)-3x²(6x-1)(2x-1)(3x-1)(x-1)+x²(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)b)-(aca)-(cbc)-(ba333(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24(x+3)(x²-1)(x+5)-20中国最负责的教育品牌7变式三：（2x²-3x+1）-22x²+33x-14x²-4xy-3y²-4x+10y-3(2x²-3x+1)2-22x²+33x-1；x4+7x3+14x²+7x+1；(x+y)3+2xy(1-x-y)-1x4-11x²y²+y²x3+3x²-4x4-12x+323变式四：已知6x²+7xy−3y²−8x+10y+c是两个关于x,y的一次多项式的乘积，而c为常数，则c=变式五：已知a、b、c、d为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，求a+b+c+d的值是多少？中国最负责的教育品牌8变式六：k为何值时，多项式x²-2xy+ky²+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积?作业：(xy−1)²＋(x＋y−2)(x＋y−2xy)(x²＋3x＋2)(4x²＋8x＋3)−90已知三角形三边a、b、c满足等式3abccba333证明这个三角形是等边三角形已知x+y=3,x²+y²-xy=4那么3344xyyxyx的值是多少？中国最负责的教育品牌967x-36x-x76x234x²y-y²z+z²x-x²z+y²x+z²y-2xyz8-14x3x-4x-x234