包络定理

2．包络定理1在上图表示的最大值函数与目标函数的关系中，我们看到，当给定参数a之后，目标函数中的选择变量x可以任意取值。如果x恰好取到此时的最优值，则目标函数即与最大值函数相等。而且，我们还可以注意到，当目标函数与最大值函数恰好相等时，相应的目标函数曲线与最大值函数曲线恰好相切，即它们对参数的一阶导数相等。对这一特点的数学描述就是所谓的“包络定理”。⑴包络定理：无约束模型设最大值函数为：()((),)Vafxaa对参数a求导有：(0)axaaxdxVffffda其中，af在最优解处取值。▼另一种表述设模型max(,)xfxa的最优解为()xxa；代入原目标函数(,)fxa即得最大值函数：()((),)Vafxaa上式两边对参数a求导得：[((),)]aaxaadxVfxaafffda其中，方括号右边的下标“a”表示对参数a求导，上标“*”表示求导后的结果在最优解处取值。由于是在最优解处取值，故由一阶必要条件可知0xf。于是有第三个等式。第三个等式中的[]af表示原目标函数(,)fxa对a求导后在最优解处取值。⑵包络定理：等式约束模型设最大值函数为：()((),(),)VaLxaaa对参数a求导有：(0)axaaxdxdVLLLLLLdada其中，aL在最优解处取值。▼另一种表述[((),(),)]aaxaadxdVLxaaaLLLLdada▼例子：效用最大化问题该问题的拉格朗日函数(,)()()Lxuxypx是x和的函数。如果将最优解(,)xxpy和(,)py代入拉格朗日函数，则它就成为参数p和y的函数：(,)((,),(,),,)((,))(,)((,))VpyLxpypypyuxpypyypxpy其中，(,)(,,,)VpyLxpy可看作“间接”拉格朗日函数，参数p和y以两种方式影响它：一是直接影响，一是间接影响，即通过最优解x和来影响。这里需要注意的是：不能把“间接”拉格朗日函数写成((,),(,))Lxpypy。⑶对包络定理的说明包络定理意味着，最大值函数V对参数a的偏导数等于目标函数f或L对参数a的偏导数（在最优解处取值），或者说，参数变化对最大值函数的影响aV等于它对目标函数的影响af或aL（af或aL在最优解处取值）。⑷例题：求aV①题目121212,max()s.t.24xxxxxxa②求解A预备工作建立拉格朗日函数：121212(,,,)(24)Lxxaxxaxx一阶必要条件为：1221122040240LxLxLaxx由此可得：12/4,/8,/16xaxaaB用包络定理求解。[][]/16aaVLa（在最优解处取值）C用传统方法验证。将最优解12/4,/8xaxa代入目标函数得最大值函数：212()()()4832aaaVaxaxa于是有：/16aVa⑷包络定理的应用：拉格朗日乘子①约束型参数有一类特殊的参数是所谓“约束型参数”。例如，消费者的预算线为pxy（p和x均为向量）。这里，收入y即为约束型参数。②约束型参数对最大值函数的影响约束型参数对最大值函数的影响有一个非常简单的结果，即它等于拉格朗日乘子：[]yV（在最优处取值）。设等式约束模型为：max()s.t.()xfxgxa这里，a代表对选择变量的约束。相应的拉格朗日函数为：,,()()Lxafxagx根据包络定理有：[][]aaVL（在最优处取值）这意味着：最优的拉格朗日乘子是约束a的边际价值，或者说，影子价格，它衡量着约束a变动所引起的目标函数最大值的变动。③例子：预算约束对效用函数的影响若消费者选择问题为max()s.t.xuxpxy则拉格朗日函数为：()()Luxypx于是有：[][]yyVL。在这里，是收入的边际效用，即收入增加一个单位所带来的效用的增加量。④注意非约束型参数没有上述结果。例如，在预算约束中，价格向量p对效用函数的影响并不等于，而是等于：[][]ppVLxx或者[][]iiiiVLxx(/,/,1,,)iiiiVVpLLpin