随机信号分析基础作业题

......学习参考第一章1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？解：()0.3PA()0.2PB()0.1PC()0.4PDE－迟到，由已知可得(|)0.25(|)0.4(|)0.1(|)0PEAPEBPECPED全概率公式：()()()()()PEPEAPEBPECPED贝叶斯公式：()(|)()0.075(|)0.455()()0.165(|)()0.08(|)0.485()0.165(|)()0.01(|)0.06()0.165(|)()(|)0()PEAPEAPAPAEPEPEPEBPBPBEPEPECPCPCEPEPEDPDPDEPE综上：坐轮船3、设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度函数为2222,0()0,0XxxXxexfxx式中，常数0X，求期望()EX和方差()DX。考察：已知()xfx，如何求()EX和()DX？222222()()()[()]()()()()()()()xxEXxfxdxDXEXmXmfxdxDXEXEXEXxfxdx6、已知随机变量X与Y，有1,3,()4,()16,0.5XYEXEYDXDY，令3,2,UXYVXY试求EU、EV、()DU、()DV和(,)CovUV。考察随机变量函数的数字特征......学习参考思路：协方差：(,)()()()CovXYEXYEXEY相关系数：22(,)()()()()()()()()2(,)XYCovXYDXDYEaXbYaEXbEYDaXbYaDXbDYabCovXY()6()5()76()52(,)40EUEVDUDVCovUV11、设随机变量X的均值为3，方差为2。令新的随机变量622YX，问：随机变量X与Y是否正交、不相关？为什么？考察正交、不相关的概念0()0EXY0正交，非0不正交00XY0不相关，非0相关()0EXY正交(,)0CovXY相关以上四题都是概率论的标准题。第二章1、已知随机信号0()cosXtAt，其中0为常数，随机变量A服从标准高斯分布，求0020,,33t三个时刻()Xt的一维概率密度函数。解：002200[()][cos]cos[]()[()][cos]cos[]xXmEXtEAttEAtDXtDAttDAA服从标准高斯分布022200[]0,[]1[]cos0()[]coscosxXEADAmEAttDAtt......学习参考一维高斯概率密度函数22220[()]2cos2()011(,)2()2|cos|xXxmtxttxXfxteett①当0t时，221(;0)2xxfxe②当03t时，2202(;)3xxfxe③当023t时，22022(;)3xxfxe3、随机变量X与Y相互统计独立，并且服从2(0,)N分布。它们构成随机信号()XtXYt，试问：(1)信号X(t)的一维概率密度函数(;)xfxt；(2)t时刻的随机变量是什么分布，求其均值和方差。解：（1）,XY服从2(0,)N分布且()XtXYt()Xt也服从正态分布[()][][][]0[()][]EXtEXYtEXtEYDXtDXYt,XY相互统计独立222222212[()][][][](1)1(;)2(1)xtxDXtDXYtDXtDYtfxtet（2）t时刻，随机变量是高斯分布22[()]0[()](1)EXtDXtt其均值为0，方差为22(1)t4、假定随机正弦幅度信号0()cos()XtAt，其中频率0和相位为常数，幅度A是一个服从0,1均匀分布的随机变量，试求t时刻该信号加在1欧姆电阻上的交流功率平均值。......学习参考解：t时刻该信号加在1欧姆上的交流功率为[()]DXt0[()][cos()]DXtDAt频率0和相位为常数200[cos()]cos()[]DAttDAA服从[0,1]均匀分布1,01()0,Aafaother21122200201[][][][]121[]121[()]cos()12DAEAEAadaadaDADXtt5、已知随机信号()Xt的均值为()Xmt，协方差函数为12(,)XCtt，又知道()ft是确定的时间函数。试求随机信号()()()YtXtft的均值以及协方差。解：[()][()()][()][()]EYtEXtftEXtEft()ft是确定信号12121211221212121211221212[()]()()(,)[()()][()][()][()()][()()][()()()()()()()()][()()][()()][()()]()[()](XXEYtmtftCttEYtYtEYtEYtEXtftEXtftEXtXtXtftftXtftftEXtftEXtftEXtXtftEXtft211212211212121212)[()]()()[()][()]()[()]()[()]()()[()()][()][()](,)XEXtftftEXtEXtftEXtftEXtftftEXtXtEXtEXtCtt()Yt的均值为()()Xmtft其协方差为：12(,)XCtt9、设接收机中频放大器的输出随机信号为()()()XtstNt，其中()Nt是均值为零，......学习参考方差为2的高斯噪声随机信号，而00()cos()stt为确知信号，求随机信号()Xt在任意时刻1t的一维概率密度函数。解：()()()()()()XtStNtNtXtSt00()cos()Stt是确知信号[()][()()]()[()]EXtEStNtStENt()Nt服从均值为0，方差为2n的高斯分布2002002[cos()]2[()]0[()]()cos()[()][()()][()]1(,)2nnxtXnEXtEXtSttDXtDStNtDNtfxte第三章3、设()Xt与()Yt是统计独立的平稳随机信号。求证由它们的乘积构成的随机信号()()()ZtXtYt也是平稳的。证：()Xt与()Yt是统计独立的平稳随机信号1212212222[()](,)[()()](),||[()][()]XXXXXEXtmRttEXtXtRttEXtDXt同理1212212222[()](,)[()()](),||[()][()]YYYYYEYtmRttEYtYtRttEYtDYt......学习参考1212112212121212121221()()()[()][()()][()][()](,)[()()][()()()()][()()()()][()()][()()](,)(,)()(),||[XYZXYXYZtXtYtEZtEXtYtEXtEYtmmRttEZtZtEXtYtXtYtEXtXtYtYtEXtXtEYtYtRttRttRRttEZ2222222222222()][()()][()][()][()][()()][()][()]XYXYXYtEXtYtEXtEYtDZtDXtYtEZtEZtmm由平稳条件可知()()()ZtXtYt也是平稳的随机信号8、设随机信号00()()cos()sinZtXttYtt，其中0为常数，()Xt、()Yt为平稳信号。试求：(1)()Zt的自相关函数(,)ZRtt；(2)若()()XYRR，()0XYR，求(,)ZRtt。解：(1)()Xt，()Yt是平稳的随机信号000000000000(,)[()()][(()cos()sin)(()cos()()sin())][()()coscos()()()cossin()()()sincos()()()sin()sin]cZRttEZtZtEXttYttXttYttEXtXtttXtYtttXtYtttYtYttt00000000oscos()()cossin()()sincos()()sin()sin()XXYYXYttRttRttRttR(2)000000000()(),()0()()()()()()()()(,)0(,)coscos()()sinsin()()()[coscos()sinsin()]()cosXYXYYXzXYXXRRRXtYtYtYtXtYtYtXtRtRtttRttRRttttR11、已知随机信号()sincosXtAtBt，式中，A与B为彼此独立的零均值随机变量。求证X(t)是均值各态历经的，而X2(t)无均值各态历经性。证：......学习参考()sincos[()][sincos]sin[]cos[]01()sincoslim(sincos)22sinsinlimlim02[()]()0TTTTTXtAtBtEXtEAtBttEAtEBXtAtBtAtBtdtTBtBtTTEXtXt()Xt是均值各态历经的2222222222222222222222[()][sincos2sincos]sin[]cos[]2[]sincossincos1()lim(sincos2sincos)21lim[sincossin22ABTTTTTTTTTTEXtEAtBtABtttEAtEBEABttttXtAtBtABttdtTAtdtBtdtABtdtT22222222222222]1cos2sinsin2111[sin2][sin2]2421cos2coscos2111[sin2][sin2]2421sin2sin2[cos2]02TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTtAtdtAtdtAdtAttATTtBtdtBtdtBdtBttBTTABtdtABtdtABt2222222222222111()lim[[sin2][sin2]]2221sin21()lim()()2421()sincos2TTABXtATTBTTTTABABTABtt2()Xt无均值各态历经性第四章4、若调幅信号波形为0()[()]cosYtaXtt，其中a，0为常量，()Xt为具有功率谱密度()XP的低频随机信号，求已知波形()Yt的功率谱密度。......学习参考解：0012()cos()cos()()YtatXttYtYt其中1()Yt为确知信号，2()Yt为随机信号分布求1()YP、2()YP利用4-101120002001()coscos()cos2()()()[()()]