实验五-IIR数字滤波器设计与滤波(附思考题程序)

实验五IIR数字滤波器设计与滤波1.实验目的（1）加深对信号采样的理解，（2）掌握滤波器设计的方法；（3）复习低通滤波器的设计。2．实验原理目前，设计IIR数字滤波器的通用方法是先设计相应的低通滤波器，然后再通过双线性变换法和频率变换得到所需要的数字滤波器。模拟滤波器从功能上分有低通、高通、带通及带阻四种，从类型上分有巴特沃兹（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）I型滤波器、切比雪夫II型滤波器、椭圆（Elliptic）滤波器以及贝塞尔（Bessel）滤波器等。典型的模拟低通滤波器的指标如下：,PS分别为通带频率和阻带频率，,PS分别为通带和阻带容限（峰波纹值）。在通带内要求1()1PaHJ,有时指标由通带最大衰减p和阻带最小衰减s给出，定义如下：20lg(1)pp和20lg()ss第二种常用指标是用参数和A表示通带和阻带要求，如图所示：二者之间的关系为：21/2[(1)1]p和1/sA，根据这几个参数可导出另外两个参数d，k，分别称为判别因子和选择性因子。21dA/pskBUTTERWORTH低通滤波器：幅度平方函数定义为221()1(/)aNcHJ，N为滤波器阶数，c为截止频率。当c时，有()1/2aHJ，为3DB带宽。BUTTERWORTH低通滤波器系统函数有以下形式：11111()...()NcaNNNNNkHssasasakss由模拟滤波器设计IIR数字滤波器，必须建立好s平面和z平面的映射关系。使模拟系统函数()aHs变换成数字滤波器的系统函数()Hz，通常采用冲激相应不变法和双线性变换法。冲激相应不变法存在频谱混叠现象，双线性变换法消除了这一线象，在IIR数字滤波器的设计中得到了更广泛的应用。s平面和Z平面的映射关系为1121()1sZsfZTZ,将sj和jwze待入数字频率和等效的模拟频率之间的映射关系：tan()2w，由于二者不是线性关系，所以称为预畸变。3.实验内容及其步骤实验的步骤：（1）给定数字滤波器的幅度相应参数。（2）用预畸变公式将数字滤波器参数变换为相应的等效模拟滤波器参数。（3）采用模拟滤波器设计方法设计等效模拟滤波器()aHs（4）采用双线性变换公式把等效模拟滤波器映射为所期望的数字滤波器。其中第三步中模拟滤波器设计步骤为：首先，根据滤波器指标求选择因子k和判别因子d其次，确定满足技术所需的滤波器阶数N,loglogdNk再次，设3db截止频率c最后由表查出归一化巴特沃斯滤波器系数。设计举例：例1设计一个模拟巴特沃特低通滤波器，它在30rad/s处具有1dB或更好的波动，在50rad/s处具有至少30dB的衰减。求出级联形式的系统函数，画出滤波器的幅度响应、对数幅度响应、相位响应和脉冲响应图。MATLAB参考程序：Wp=30;Ws=50;Rp=1;As=30;%技术指标Ripple=10^(-Rp/20);Attn=10^(-As/20);[b,a]=afd_butt(Wp,Ws,Rp,As)%巴特沃兹低通滤波器子程序[db,mag,pha,w]=freqs_m(b,a,50);%计算幅频响应[ha,x,t]=impulse(b,a);%计算模拟滤波器的单位脉冲响应figure(1);clf;subplot(2,2,1);plot(w,mag);title('MagnitudeResponse');xlabel('Analogfrequencyinrad/s');ylabel('H');axis([0,50,0,1.1]);grid;subplot(2,2,2);plot(w,db);title('MagnitudeindB');xlabel('Analogfrequencyinrad/s');ylabel('decibels');axis([0,50,-40,5])gridsubplot(2,2,3);plot(w,pha/pi);title('PhaseResponse');xlabel('Analogfrequencyinrad/s');ylabel('radians');axis([0,50,-1.1,1.1])gridsubplot(2,2,4);plot(t,ha);title('ImpulseResponse');xlabel('timeinseconds');ylabel('ha(t)');axis([0,max(t)+0.05,min(ha),max(ha)+0.025]);grid%巴特沃兹模拟滤波器的设计子程序function[b,a]=afd_butt(Wp,Ws,Rp,As);ifWp=0error('Passbandedgemustbelargerthan0')endifWs=Wperror('StopbandedgemustbelargerthanPassededge')endif(Rp=0)|(As0)error('PBrippleand/0rSBattenuationmustbelargerthan0')endN=ceil((log10((10^(Rp/10)-1)/(10^(As/10)-1)))/(2*log10(Wp/Ws)));OmegaC=Wp/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N)));[b,a]=u_buttap(N,OmegaC);%设计非归一化巴特沃兹模拟低通滤波器原型子程序function[b,a]=u_buttap(N,OmegaC);[z,p,k]=buttap(N);z、p和k分别是设计出的()Gp的极点、零点及增益。p=p*OmegaC;%非归一化k=k*OmegaC^N;B=real(poly(z));b0=k;b=k*B;分子向量a=real(poly(p));分母向量%计算系统函数的幅度响应和相位响应子程序function[db,mag,pha,w]=freqs_m(b,a,wmax);w=[0:1:500]*wmax/500;H=freqs(b,a,w);mag=abs(H);db=20*log10((mag+eps)/max(mag));pha=angle(H);例2设计如下指标的数字低通滤波器。相应的MATLAB程序如下：fp=100;fst=300;Fs=1000;rp=3;rs=20;wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fst/Fs;Fs=Fs/Fs;%letFs=1wap=tan(wp/2);was=tan(ws/2);预畸变公式[n,wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s')；设计等效模拟滤波器[z,p,k]=buttap(n);[bp,ap]=zp2tf(z,p,k)设计模拟低通原型滤波器[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wap)；将模拟低通原型滤波器转换为低通滤波器[bz,az]=bilinear(bs,as,Fs/2)实现双线性变换，即由模拟滤波器sH得到数字滤波器[h,w]=freqz(bz,az,256,Fs*1000);plot(w,abs(h));gridon;调试运行该程序，运行结果如下：bp=[1,0,0],ap=[1,1.4142,1],bs=[0.1056,0,0],as=[1,0.4595,0.1056]bz=[0.0675,0.1349,0.06745],az=[1,-1.143,0.4128]4.实验用MATLAB函数介绍在实验过程中，MATLAB函数命令有数字滤波器函数[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)、模拟滤波器函数[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,‘s’)。式中Wp,Ws分别上通带和阻带的截止频率，实际上它们是归一化频率，其值在0~1之间，Rp,Rs分别是通带和阻带的衰减，单位为dB。N是求出的相应低通滤波器的阶次，Wn是求出的3dB频率，第二个式子的单位为rad/s，因此，它们实际上是频率。用来设计模拟低通原型滤波器()Gp，其调用格式是[z,p,k]=buttap(N)N是欲设计的低通原型滤波器的阶次，z、p和k分别是设计出的()Gp的极点、零点及增益。以下4个文件用来将模拟低通原型滤波器()Gp分别转换为低通、高通、带通、及带阻滤波器。其调用格式分别是（1）[B,A]=lp2lp(b,a,Wo)或[B,A]=lp2hp(b,a,Wo)（2）[B,A]=lp2bp(b,a,Wo,Bw)或[B,A]=lp2bs(b,a,Wo,Bw)式中b，a分别是模拟低通原型滤波器()Gp有分子、分母多项式的系数向量，B，A分别是转换后的sH有分子、分母多项式的系数向量；在格式（1）中，Wo是低通或高通滤波器的截止频率；在格式（2）中Wo是带通或带阻滤波器的中心频率，Bw是其带宽。实现双线性变换，即由模拟滤波器sH得到数字滤波器zH。其调用格式是[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs)式中B、A分别是sH的分子、分母多项式的系数向量；Bz、Az分别是zH的分子、分母多项式的系数向量，Fs是抽样频率。5.思考题（1）IIR滤波器设计步骤。（2）对实验过程中所涉及的问题进行分析，试编写和修改相应的程序，得出最终正确的结果和波形图，并对实验报告进行整理分析。（3）设计低通数字滤波器，要求在通带内频带低于rad2.0时，允许幅度误差在1dB以内，在频率radrad~3.0之间的阻带衰减大于15dB。用双线性设计数字滤波器，1T，模拟滤波器采用巴特沃兹滤波器原型。rp=1;rs=15;wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Fs=1;wap=tan(wp/2);was=tan(ws/2);[n,wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s');[z,p,k]=buttap(n);[bp,ap]=zp2tf(z,p,k);[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wap);[bz,az]=bilinear(bs,as,Fs/2);[h,w]=freqz(bz,az,256);plot(w,abs(h));gridon;（4）设计一个巴特沃兹高通滤波器，要求通带截止频率为6.0，通带内衰减不大于1dB，阻带起始频率为4.0，阻带内衰减不小于15dB，1T。（选做）rp=1;rs=15;wp=0.6*pi;ws=0.4*pi;Fs=1;wap=tan(wp/2);was=tan(ws/2);[n,wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s');[z,p,k]=buttap(n);[bp,ap]=zp2tf(z,p,k);[bs,as]=lp2hp(bp,ap,wap);[bz,az]=bilinear(bs,as,Fs/2);[h,w]=freqz(bz,az,256);plot(w,abs(h));gridon;6.实验报告要求（1）明确实验目的以及实验的原理。（2）通过实验内容掌握滤波器的设计。（3）完成思考题的内容，对实验结果及其波形图进行分析，总结主要结论。