第7讲-洛必达法则

主讲：王淑媛第七讲第三章导数的应用3.1中值定理3.1.1罗尔定理)(xfy)()()3(bfaf罗尔定理如果函数(1)在闭区间[a，b]上连续，那么在(a，b)内至少存在一点，使得满足下列条件：(2)在开区间(a，b)内可导，0)(ξfξbxoy)(xfyABξac几何解释:.,轴在该点处的切线平行于上至少有一点在曲线弧xCAB证：f(x)在闭区间[a,b]连续,[a,b]上有最大值M和最小值m(1)若M=m，则[a,b]上f(x)=C，0)(f(2)若M≠m,由f(a)=f(b),M、m中至少一不等f(a),f(a)≠M),(baξ0)()(limlim00xfxfxyxxΔξΔξΔΔΔΔ0)()(limlim00xfxfxyxxΔξΔξΔΔΔΔ,limlim00xyxyxxΔΔΔΔΔΔ0)(ξf故即存在由，f)(ξMf)(ξ0)()(ξΔξΔfxfx，正负都有不论),(baξ3.1.2拉格朗日中值定理)(xfy拉格朗日中值定理如果函数(1)在闭区间[a，b]上连续，那么在(a，b)内至少存在一点，使得满足下列条件：(2)在开区间(a，b)内可导，).()()(ξfabafbf几何解释:.,ABMAB弦在该点处的切线平行于上至少有一点在曲线弧ξxoyabξ)(xfyABMD'A'BC)()()()()()(axabafbfafxfxF作辅助函数证，babaxF上连续在上满足罗尔定理条件在闭区间函数],[:],[)(内在根据罗尔定理且内可导在),(),()(),(ba，bFaF，ba使得至少存在一点，ξ0)()()(')('abafbffFξξabafbff)()()('ξ故得:常写成下面形式应用拉格朗日定理时，))((')()(abfafbfξ注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.推论1推论2)()()(),()(),(''为常数则有如果对于任意CCxgxfxgxf，bax)()(,0)(),,('为常数则有如果对于任意CCxfxfbax2cotarctan1πxarcx证明例，、xfx，arcxxf可导在实数域内连续则函数设证)(cotarctan)(，xxxf01111)('22且所以又得由推论,2)0()(1πfC，xf2cotarctanπxarcx3.1.3柯西中值定理)()(x、gxf柯西中值定理设函数(1)在闭区间[a，b]上连续，使得满足下列条件：(2)在开区间(a，b)内可导，.)(')(')()()()(ξξgfagbgafbfξ,0)('),()3(xgba内任一点在则在(a，b)内至少存在一点，作辅助函数证),(,)]()([)()()()()()()(baxagxgagbgafbfafxfxφ使得即条件上满足罗尔定理的全部在于是，ba，bax，),(),()(ξφ0)(')()()()()(')('ξξξφgagbgafbff有再由，g0)('ξ)(')(')()()()(ξξgfagbgafbf则有若令日中值定理的一个推广柯西中值定理是拉格朗,)(xxg，))((')()(abfafbfξ（拉格朗日公式）定义.00)()(lim,)()(,)()(00型未定式或称为那末极限大都趋于零或都趋于无穷与两个函数时或如果当xgxfxgxfxxxxxx例如,,tanlim0xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()(型未定式解法型及一00)(3.1.4罗必达法则.)(')(lim)()(lim),()(')(lim)3(;0)(lim,0)(lim)2(;0)(',),()1(:)()()(00000000xgxfxgxfxgxfxgxfxghxhxxxgxfxxxxxxxxxx则有或为无穷大存在且内可导点的某去心邻域在满足下列条件和如果罗必达法则定理。xxxxxxgxfxxxx定理仍成立定理的极限过程换成定理仍成立型未定式即改为条件注,,,;)()(lim,)(lim)2(:0000,0)()()()()()(lim00000xgxf，x，gxfxgxfxx不妨定义无关与证),(),()(),(0000hxhxx，hxhxxgxf取内连续在，xxxgxf西中值定理的条件为端点的区间上满足柯和在以则0)(),()(,)(')(')()()()()()(000之间与介于因此有xxgfxgxgxfxfxgxfξξξ得对上式两端取极限时又因当，，x，xx00ξ，gfxgxfxxx)(')('lim)()(lim00ξξξ)(')('lim)(')('lim)3(00xgxfgfxxxξξξ可知再由条件)(')('lim)()(lim00xgxfxgxfxxxx故有。，，证毕左端也为无穷大当上式右端为无穷大时例120cos1limxxx求解这是00型不定式，使用罗必达法则，求得21sinlim212sinlim)()cos1(limcos1lim002020xxxxxxxxxxxx例2解xxxxxxsincoslim0求xxxxxxxxxcos1sinlim1cos1sincos1lim00原式3coslimsinlim2sincossinlim1000xxxxxxxxxx例3解)0(lnlimnxxnx求解这是型不定式，使用罗必达法则，求得01limlimlnlim11nxnxnxnxnxxxx例4.3tantanlim2xxx求)(xxx3sec3seclim222原式xxx222cos3coslim31xxxxxsincos23sin3cos6lim312xxx2sin6sinlim2xxx2cos26cos6lim2.3型未定式解法二00,1,0,,0)(例5解.lnlim0xxx求)0(0)(limlimlnlim021010xxxxxxxx原式关键:将其它类型未定式化为罗必达法则可解决的类型),00()(型0.1步骤:,10.0100或0101.0000型.2步骤:例6这是型不定式,但通分后就化成了型不定式.)ln11(lim1xxxx求解00)ln11(lim1xxxxxxxxxxxxxxxln111lnlimln)1(1lnlim1121111limln11lnlim211xxxxxxxx步骤:型00,1,0.3ln01ln0ln01000取对数.0例7解.lim0xxx求)0(0xxxeln0lim原式xxxelnlim02011limxxxe0e.1xxxe1lnlim0例8解xxxtan01lim求0xxytan10取对数化为型不定式求极限，得到这是型不定式，设0sinsinlimcsclimcotlnlim1lntanlimlnlim0210000xxxxxxxxxyxxxxx1limlim1lim0lnlimln00tan00eeeyxyyxxxxx故得例9解.lim111xxx求)1(xxxe1lnlim111lim1xxe.1exxxeln111lim原式例10解.coslimxxxx求1sin1limxx原式).sin1(limxx极限不存在罗必达法则失效。)cos11(limxxx原式.1注意：罗必达法则的使用条件．小结罗必达法则型00,1,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111取对数令gfy练习:.tanlim0xxx求求下列极限1.6.5.4.3.2..123lim2331xxxxxx求.1arctan2limxxx求.sinlnsinlnlim0bxaxx求.)(cotlimln10xxx求).1sin1(lim0xxx求1解.tanlim0xxx求)()(tanlim0xxx原式1seclim20xx.12解.123lim2331xxxxxx求12333lim221xxxx原式266lim1xxx.23)00()00(练习题解答:3解.1arctan2limxxx求22111limxxx原式221limxxx.14解.sinlnsinlnlim0bxaxx求axbxbbxaxaxsincossincoslim0原式.1)00()(axbxxcoscoslim0axbbxaxsinsinlim05.解.)(cotlimln10xxx求)(0,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex取对数得)ln(cotln1lim0xxxxxxx1sin1cot1lim20xxxxxxx2200cossin1limsincoslim,1.1e原式6.解).1sin1(lim0xxx求)(xxxxxsinsinlim0原式0sincoscossinlimcossincos1lim00xxxxxxxxxxx