第8讲-一元一次不等式(组)及其应用

第8讲一元一次不等式(组)及其应用(3～13分)第二章方程(组)与不等式(组)【版本导航】人教：七下第九章P113—P134；北师：八下第二章P36—P63；华师：七下第八章P49—P70.一元一次不等式(组)的解法及其解集表示近8年仅2010年未考查，考查题型：选择题(3次)、填空题(2次)、解答题中涉及不等式(组)的解(2次)．考查形式：①一元一次不等式的解法及其解集表示；②一元一次不等式组的解法及其解集表示；③一元一次不等式组的特殊解．不等式组的应用在新课标中已经删去，不等式组的解法几乎成为必考内容，出现在选择、填空题中的可能性大．考点一考点二考点三考点四不等式的有关概念及其性质一元一次不等式及其解法一元一次不等式组及其解法(高频考点)一元一次不等式的应用考点一不等式的有关概念及其性质1．不等式：一般地，用“＜”(或“≤”)、“＞”(或“≥”)或“≠”连接起来的式子叫做不等式．2．不等式的解：使不等式成立的_______________叫做不等式的解．3．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的___________，组成这个不等式的解集．未知数的值所有解4．不等式的基本性质(1)不等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，即：若a＞b，则a±c____b±c.(2)不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，c＞0，则ac______bc(或ac＞bc)．(3)不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，c＜0，则ac___bc(或ac＜bc)．＞＞＜考点二一元一次不等式及其解法1．一元一次不等式：左右两边都是整式，且只含有一个未知数，并且未知数的次数是____且系数不为0的不等式，叫做一元一次不等式，其一般形式为ax＋b＞0或ax＋b＜0.2．一元一次不等式的解法：一元一次不等式的解法步骤与解一元一次方程的解法步骤类似，即去分母、去括号、移项、合并同类项，但要特别注意不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向______.1改变3．一元一次不等式的解集可以直观地在数轴上表示出来，有以下四种情况，要注意区分方向及空心圈、实心点．考点三一元一次不等式组及其解法(高频考点)1．一元一次不等式组：把几个含有同一个未知数的________________合起来，就组成一个一元一次不等式组．2．一元一次不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的___________，叫做这个不等式组的解集．3．一元一次不等式组的解法步骤：先求出各个不等式的解集，再求出它们解集的_______部分，就得到不等式组的解集，可以借助数轴确定它们的公共部分．一元一次不等式公共部分公共4．一元一次不等式组解集的四种情况若a＜b，则有：不等式组图示解集口诀x＞ax＞b_______同大取大x＜ax＜b_______同小取小x＞bx＜ax＞ax＜b________大小、小大中间找x＜ax＞b________大大、小小取不了a＜x＜b空集考点四一元一次不等式的应用列一元一次不等式解决实际问题与列方程解决实际问题类似，基本步骤如下：审、设、列、解、验、答．要注意的是，列方程关注的是等量关系，而列不等式的依据是问题中的不等关系，要准确分析问题中包含的“至少”、“最多”、“不低于”、“不超过”等关键词，并将其转化为数学符号语言，这是建立不等式模型的关键.考点一一元一次不等式(组)的解法及其解集表示(8年7考)一元一次不等式(组)的解法及其解集表示(8年7考)考点一1．(2015·河南5题)不等式组x＋5≥0，3－x＞1的解集在数轴上表示为()C2．(2013·河南6题)不等式组x≤2，x＋2＞1的最小整数解为()A．－1B．0C．1D．2B3．(2011·河南4题)不等式组x＋2＞0，x－1≤2的解集在数轴上表示正确的是()B4．(2017·河南12题)不等式组x－2≤0，x－12x的解集是____________.5．(2014·河南10题)不等式组的3x＋6≥0，4－2x0所有整数解的和为__________.－1x≤2－2类型1不等式的性质类型2解一元一次不等式（组）类型3一元一次不等式（组）的整数解类型4一元一次不等式的应用不等式的性质类型1(2017·常州)若3x＞－3y，则下列不等式中一定成立的是()A．x＋y＞0B．x－y＞0C．x＋y＜0D．x－y＜0【解析】不等式两边都除以3，得x＞－y，两边都加y，得x＋y＞0，故选A.【答案】A运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意：在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改巩固提升1．(2017·株洲)已知实数a，b满足a＋1＞b＋1，则下列选项错误的为()A．a＞bB．a＋2＞b＋2C．－a＜－bD．2a＞3bD解一元一次不等式（组）类型2(2017·眉山)不等式－2x＞12的解集是()A．x＜－14B．x＜－1C．x＞－14D．x－1【解析】不等式两边都除以－2，得x－14，故选A.【答案】A巩固提升2．(2017·孝感)不等式组3－x≥0，2x＋4＞0的解集在数轴上表示正确的是()ABCDD一元一次不等式（组）的整数解类型3(2017·大庆)若实数3是不等式2x－a－2＜0的一个解，则a可取的最小正整数为()A．2B．3C．4D．5【解析】将x＝3代入不等式，得6－a－2＜0，解得a＞4，则a可取的最小正整数为5，故选D.【答案】D求不等式的整数解时，应先求出不等式的解集，然后在解集中确定符合要求的特殊解.巩固提升3．(2017·内江)不等式组3x＋7≥2，2x－9＜1的非负整数解的个数是()A．4B．5C．6D．7B一元一次不等式的应用类型4(2017·泰安)某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．(1)大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？(2)该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%.若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？解：(1)设小樱桃的进价为每千克x元，大樱桃的进价为每千克y元，根据题意，得，解得，∴小樱桃的进价为每千克元，大樱桃的进价为每千克元．，∴销售完后，该水果商共赚了元；(2)设大樱桃的售价为a元/千克，则，解得．答：大樱桃的售价最少应为元/千克．【解析】(1)根据“大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元”“用8000元共购进大樱桃和小樱桃200千克”列出方程组，解方程组即可得到答案；(2)根据“根据第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%”即可得到答案．【答案】(1)200x＋200y＝8000，y－x＝20，x＝10，y＝30，10,30，200×[(40－30)＋(16－10)]＝3200(元)，3200(2)(1－20%)×200×16＋200a－8000≥3200×90%，a≥41.6,41.6巩固提升4．(2017·黑龙江)由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销．某药店准备购进一批口罩，已知1个A型口罩和3个B型口罩共需26元；3个A型口罩和2个B型口罩共需29元．(1)求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？(2)药店准备购进这两种型号的口罩共50个，其中A型口罩数量不少于35个，且不多于B型口罩的3倍，有哪几种购买方案，哪种方案最省钱？解：(1)设一个A型口罩的售价是a元，一个B型口罩的售价是b元，根据题意，得a＋3b＝26，3a＋2b＝29，解得a＝5，b＝7.答：一个A型口罩的售价是5元，一个B型口罩的售价是7元；(2)设购进A型口罩x个，则购进B型口罩(50－x)个．根据题意，得x≥35，x≤3(50－x)，解得35≤x≤37.5.∵x为整数，∴x＝35,36,37.∴共有3种方案：方案A型口罩B型口罩一3515二3614三3713设购买口罩需要y元，则y＝5x＋7(50－x)＝－2x＋350.∵－2＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝37时，y的值最小．答：有3种购买方案，当购买A型口罩37个，购买B型口罩13个时，最省钱．1.(2017·平顶山一模)下列不等式变形正确的是()A．由a＞b，得ac＞bcB．由a＞b，得a－2＜b－2C．由－12＞－1，得－a2＞－aD．由a＞b，得c－a＜c－bD2．(2017·洛阳一模)已知点P(a＋1，－a2＋1)关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是()ABCCD7．(2017·商丘一模)不等式组x＞－35，x－3≤9－2x的最小整数解为____.8．(2017·南阳模拟)不等式组5x－1＞3x－4，－12x≤2－x的正整数解的乘积为______.0249．(2017·商丘一模)我市计划购买甲、乙两种树苗共8000株用于城市绿化，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%.(1)若购买这两种树苗共用去210000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？(2)若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？(3)在(2)的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．解：(1)设购买甲种树苗x株，则购买乙种树苗(8000－x)株，根据题意，得24x＋30(8000－x)＝210000，解得x＝5000，则8000－x＝3000.答：购买甲种树苗5000株，乙种树苗3000株；(2)设购买甲种树苗x株，则购买乙种树苗(8000－x)株，根据题意，得85%x＋90%(8000－x)≥8000×88%，解得x≤3200.答：甲种树苗至多购买3200株；(3)设购买树苗的总费用为y元，根据题意，得y＝24x＋30(8000－x)＝－6x＋240000.∵－6＜0，x≤3200，∴当x＝3200时，y有最小值－6×3200＋240000＝220800.答：当购买甲种树苗3200株，乙种树苗4800株时，购买树苗的总费用最低，最低费用为220800元．