正方形经典难题(有解析)

正方形经典难题(有解析）已知正方形ABCD是一个正方形。一、F为CD上一点，，G为对角线BD上一点，且FG⊥BD，M为BG中点，连接AM、MF。求证：AM=MF，AM⊥MF方法一：考虑到M是BG中点，GF∥BC，所以想到倍长中线证明：延长CB、FM交于点I，连接AI、AF∵GF⊥CD，∴GF∥BC∴∠GFM=∠MIB又GM=MB，∠IMB=∠FMG∴△GMF≌BMI所以MF=MI，BI=GF在Rt△ADF与Rt△ABI中AB=AD，DF=GF=BI∠ADF=∠ABI=90°∴△ADF≌△ABI所以AF=AI，∠1=∠2∠IAF=∠2+∠BAF=∠1+∠BAF=90°所以△IAF是一个等腰直角三角形又MI=MF∴△AMF是一个等腰直角三角形所以AM=MF，AM⊥MF方法二：可以将需要证明的结论看做是一个三角形绕M点旋转90°的结果，条件中又有MG=MB，所以想到构造一个三角形与△MGF全等。证明：延长FG交AB于J，连接JM∵GF⊥CD∴四边形AJDF和四边形BJFC均为矩形所以AJ=DF=GF，BJ=CF在△BJG中，∠JBG=45°，GJ⊥BJ，又M为BG中点故JM=BM=GM，∠BJM=45°∵∠DGF=45°∴∠MGF=∠AJM=135°在△AJM和△FGM中，JM=GM，AJ=GF，∠MGF=∠AJM∴△AJM≌△FGM∴AM=MF，∠AMF=∠JMG=90°，即AM⊥MF二、E是BC上一点，F是CD上一点，∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接MF求证：AM⊥MF，AM=MF方法一：联想到上题的图形，仍然考虑过F做CD的垂线证明：过F做FH⊥CD交BD于H，过F做FG⊥AF交AE延长线于G，连接AH、HG、BG∵∠EAF=45°∴△AFG为等腰直角三角形∴AF=FG又∠AFD=∠GFH=90°-∠AFHDF=HF∴△ADF≌△GHF∴HG=AD，HG⊥HF∴HG=AB，HG∥AB所以四边形AHGB是平行四边形∴M是AG中点∴△AMF为等腰直角三角形∴AM⊥MF，AM=MF方法二：首先证明一个题目四边形ABCD是一个正方形，F为CD上一点，QD为∠ADS的角平分线，且QF=BF求证：QF⊥BF证明：过F分别向QD、BD做垂线，垂足分别为G、H∵AD⊥SC∴∠GDF=∠QDS=45°又∠BDC=45°所以CD是∠HDG的角平分线又HF⊥BD、FG⊥DG∴HF=FG在Rt△QFG和Rt△BFH中QF=BF，HF=FG所以△QFG≌△BFH∴∠Q=∠DBF∴∠QFB=∠QDB=90°即QF⊥BF联想到此题的做法，给出以下证明证明：过A做AQ⊥AE，并截取AQ=AM，连接QF，过F分别向QD、BD做垂线，垂足分别为G、H∵AQ⊥AM，AD⊥AB∴∠QAD=∠MAB又AQ=AM，AD=AB∴△AQD≌△AMB∴∠ADQ=∠ABM=45°又AD⊥CD∴∠CDG=45°∴CD平分∠BDG又HF⊥BD，FG⊥DG∴HF=FG在△AQF和△AMF中∠QAF=∠EAF=45°AQ=AM，AF公共所以△AQF≌△AMF∴QF=FM在Rt△QFG和Rt△MFH中，QF=FM，FG=HF∴△QFG≌△MFH∴∠DQF=∠DMF∴∠QFM=∠QDM=90°又AQ=QM，QF=FM，∠QAM=90°易证四边形AQFM为正方形所以AM⊥MF，AM=MF三、E为BC上一点，F为CD上一点，∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EF。（1）求证：EF=BE+DF。考虑使用截长补短来证明证明：在CD延长线上截取DG=BE，连接AGAB=AD，∠ADG=∠ABE=90°，DG=BE∴△ADG≌△ABE∴AG=AE，∠GAD=∠EAB∴∠GAE=∠DAE+∠GAD=∠DAE+∠BAE=90°∵∠EAF=45°∴∠GAF=45°又AG=AE，AF公共所以△GAF≌△EAF∴EF=GD+DF=BE+DF（2）求证：∠AFD=∠AFE=∠AMN，∠AEB=∠AEF=∠ANM证明：∵△GAF≌△EAF∴∠AFD=∠AFE在△DNF和△ANM中，∠NAM=∠NDF=45°∠DNF=∠ANM∴∠AFD=∠AMN∴∠∠AFD=∠AFE=∠AMN、同理可得∠AEB=∠AEF=∠ANM（3）求证：222DNBMMN联想到勾股定理，所以考虑把三条线段移到一个直角三角形中证明：过A做AH⊥AM，并截取AH=AM，连接HN，HD显然有∠HAD=∠MAB，AH=AM，AD=AB∴△HAD≌△AMB所以HD=BM，∠HDA=∠ABD=45°∴HD⊥DN∵∠MAN=45°∴∠HAN=45°又AH=AM，AN公共∴△ANH≌△ANM∴HN=MN在△HDN中，222HNDNHD即222DNBMMN（4）求证：2222222,2BNDNANDMBMAM构造直角三角形，应用勾股定理证明：过N分别向AD、AB做垂线，垂足分别为I、J显然有JNBNINDN2,2222NJINAN所以2222DNBNAN同理有2222DMBMAM（5）连接NE、MF，求证：AM=MF，AM⊥MF；AN=NE，AN⊥NE见第二题（6）求证：BEBABNDADFDM2,2注意到△AMF是等腰直角三角形，AD⊥DF，回归到基本图形下面给出一种证明证明：过M做ML⊥DM交DA延长线于L则△LMD为等腰直角三角形∴LM=DM，∠L=∠MDF=45°又∠LMA=∠DMF=90°-∠AMD∴△LAM≌△DFM∴LA=DF∴DMLDLAADDFAD2同理可得BEBABN2（7）过M向CF做垂线，垂足为P，求证：P为CF中点；过N向CE做垂线，垂足为Q，求证：Q为CE中点。证明：连接MF，CM在△AMB和△CMB中AB=BC，∠ABM=∠CBM=45°，BM公共∴△AMB≌△CMB∴AM=CM由第二题结论，AM=MF∴MF=CM则△FMC是等腰三角形又MP⊥CF∴P为CF中点同理，Q为CE中点（8）求证：DNCEBMCF2,2证明：过M做MT⊥BE于T则△BMT为等腰直角三角形∴MTBM2由（7）的结论，CF=2CP=2MT∴BMCF2同理DNCE2（9）求证：MNEF2证明：由（3）的结论，222DNBMMN由（8）的结论，DNCEBMCF2,2∴2222MNCECF∴222MNEF即MNEF2（10）过F做CD的垂线FR交BD于R，求证：RM=BM证明：延长FR交AM于S，交AB于T，连接TM、MF由第二题的结论有，AM=MF，AM⊥MF∵FT⊥AB，∠AST=∠FSM∴∠TAS=∠SFM又AT=DF=RF∴△ATM≌△FRM∴TM=RM又△RTB为等腰直角三角形∴RM=MB（11）分别过E、F向BD做垂线，垂足分别为S、R求证：BDSNRM21看到（10）中的结论，此题迎刃而解证明：过F做FT⊥CD交BD于T则△DFT为等腰直角三角形又RF⊥DT∴DR=RT又由（10）中结论有TM=BM∴BDBTDTTMRTRM212121同理有BDSN21（12）求证：AEFAMNSS△△21证明：连接MF、NE，过N做AE的垂线NK交AE于K由第二题的结论，△ANE和△AMF均为等腰直角三角形∴KN=AK=KEKNAMSAMN·21△AEMFSAEF·21△∵AEKNAMMF21,∴AEFAMNSS△△21（13）P为EF中点，连接PM、PN求证：△PMN是等腰直角三角形证明：连接MF，由第二题的结论∠EMF=90°又P为EF中点∴EFPM21同理有EFPN21∠1=180°-2∠AEF∠2=180°-2∠AFE又∠AEF+∠AFE=180°-∠EAF=135°∴∠1+∠2=90°∴∠MPN=90°∴△PMN是等腰直角三角形（14）过M、N分别做AB、AD的平行线交于点Q，连接AQ，求证：AQ⊥EF，AQ=QM=QN证明：由（13）的结论，△PMN为等腰直角三角形∵QM∥AB∴∠QMN=∠ABD=45°同理∠QNM=45°∴△QMN为等腰直角三角形∴四边形PNQM为正方形连接NE由第二题结论，∠ANE=90°∴∠ANQ=∠PNE=90°-∠QNE又AN=NE，QN=PN∴△ANQ≌△ENP∴∠NAQ=∠NEP，AQ=PE又PE=NP=QN=QM∴AQ=QM=QN延长AQ交EF于H∵∠NEP+∠NFE=90°∴∠NAQ+∠NFE=90°∴AQ⊥EF（15）已知正方形边长为a，令DF=x，BE=y，请问x、y之间有何数量关系？解：由（1）中结论EF=DF+BE=x+yCF=a-x，CE=a-y∵222CFCEEF∴222)()()(yaxayx展开，整理得2aayaxxy∴222aaayaxxy∴22))((aayax四、如图，已知正方形纸片ABCD，E为BC延长线上一点，F为边AB上一点，将纸片沿直线EF翻折，点B恰好落在AD边上的点G，连接GE交CD于H点。若AG=2，CH=3，求正方形边长。解：过B向GH做垂线BM，垂足为M连接BG、BH由于△GFE是由△BFE翻折得到所以很容易得到∠BGE=∠GBE∵AD∥BC∴∠GBE=∠AGB∴∠AGB=BGE又∠BAG=∠BMG=90°BG公共∴△AGB≌△MGB∴GM=AG，∠ABG=∠GBM同理有MH=CH，∠CBH=∠MBH∴∠GBH=∠GBM+∠MBH=4521ABC°设正方形ABCD边长为a，由第三题（15）问结论有，22)3)(2(aaa解得16或a，舍去1a∴正方形边长为6