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集合集合集合集合1.1.3集合之间的关系已知：M＝{-1，1}，N＝{-1，1，3}，P＝{x|x2-1=0}．问：（1）哪些集合用列举法表示的？（2）哪些集合是用性质描述法表示的？（3）考察集合中的元素，集合M与集合N，P有什么关系？子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作AB（或BA），读作“A包含于B”（或“B包含A”）．BA我们常用平面上一个封闭曲线的内部表示一个集合，若集合A是集合B的真子集，则如左图所示，这种图形通常叫做Venn图.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A是集合B的真子集．记作AB（或AB），读作A真包含于B（或B真包含A）．空集：不含任何元素的集合，记作．例如：（1）{x|x20}＝；（2）{x|x＋1＝x＋2}＝．规定：空集是任意一个集合的子集，也就是说，对任意集合A，都有A．性质(1)AA任何一个集合是它本身的子集；(2)A空集是任何集合的子集；(3)对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC；(4)对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC．判断：集合A是否为集合B的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×．（1）A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3，4，5，6}；()（2）A＝{1，3，5}，B＝{1，3，6，9}；()（3）A＝{0}，B＝{x|x2＋2＝0}；()（4）A＝{a，b，c，d}，B＝{d，b，c，a}．()√×√×例2说出以下两个集合之间的关系：（1）A＝{2，4，5，7}，B＝{2，5}；（2）S＝{x|x2＝1}，T＝{−1，1}；（3）C＝{x|x是奇数}，D＝{x|x是整数}．ABS=TCD解：（1）集合A的所有子集是，{1}，{2}，{1，2}；例1（1）写出集合A={1，2}的所有子集及真子集；（2）写出集合B={1，2，3}的所有子集及真子集；（3）若集合M由4个元素构成，那么它的子集共有多少个？真子集的个数呢？A的真子集是上述子集中，去掉{1，2}．解：（2）集合B的所有子集是，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}，{1，2，3}；例1（2）写出集合B={1，2，3}的所有子集及真子集．B的真子集是上述子集中，去掉{1，2，3}．解：（3）若集合M由4个元素构成，那么它的子集共有16个；真子集的个数为15个．例1（3）若集合M由4个元素构成，那么它的子集共有多少个？真子集的个数呢？如果一个集合中有n个元素，那么它的子集有多少个？真子集有多少个？解：集合的所有子集个数是2n；所有真子集个数是2n1．练习写出集合A＝{a，b，c}的所有子集及真子集．子集：，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}真子集：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}（1）集合之间的关系：子集、真子集；（2）若集合A中的元素个数为n，那么集合A的子集的个数为2n，其真子集的个数为2n1．观察实例：两个集合有何关系？(1)A＝{1，3}，B＝{1，3，5，6}；(3)P＝{x|x是菱形}，Q＝{x|x是正方形}；(4)S＝{x|x＞3}，T＝{x|3x-6＞3}；(2)C＝{x|x是长方形}，D＝{x|x是平行四边形}；(5)E＝{x|(x＋1)(x＋2)＝0}，F＝{-1，-2}．可见，集合A＝B，是指A，B的所有元素完全相同．例：{1，-1}＝{-1，1}．集合相等：如果两个集合的元素完全相同，那么我们就说这两个集合相等．集合A等于集合B，记作A＝B．如果AB，又BA，那么A＝B；反之，如果A＝B，那么AB，并且BA．例1指出下面集合之间的关系：(1)A＝{x|x2-9＝0}，B＝{-3，3}；(2)M＝{x||x|＝1}，N＝{-1，1}；解(1)A＝B；(2)M＝N．例2指出下面集合之间的关系：（1）A＝{2，4，5，7}，B＝{2，5}；（2）P＝{x|x2＝1}，Q＝{-1，1}；（3）C＝{正奇数}，D＝{正整数}；（4）M＝{等腰直角三角形}，N＝{有一个角是45°的直角三角形}解（1）BA；（2）P＝Q；（3）CD；（4）M＝N；练习1用适当的符号（，，=，，）填空：（1）a{a，b，c}；（2）{4，5，6}{6，5，4}；（3）{a}{a，b，c}；（4）{a，b，c}{b，c}；（5）{1，2，3}；（6）{x|x是矩形}{x|x是平行四边形}；（7）5{5}；（8）{2，4，6，8}{2，8}．例3指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．平行四边形菱形矩形正方形本节课我们学习的内容（1）子集（2）真子集（3）集合相等