9.2空间曲面的切平面与法线

9.2曲面的切平面与法线设曲面方程为,0),,(zyxF)},(),(),({000tztytxT曲线在M处的切向量切平面,)()()(:tzztyytxxnTM二、曲面的切平面与法线在曲面上任取一条通过点M的曲线法线)}(),(),({MFMFMFnzyx令则,Tn切平面方程为:0))(())(())((000zzMFyyMFxxMFzyx,0)](),(),([tztytxF,0)()()()()()(000tzMFtyMFtxMFzyx)},,(),,,(),,,({000000000zyxFzyxFzyxFnzyx即)},(),(),({000tztytxT曲线在M处的切向量法线方程为:.),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx解,32),,(xyezzyxFz,42)0,2,1()0,2,1(yFx,22)0,2,1()0,2,1(xFy,0)1()0,2,1()0,2,1(zzeF令切平面方程法线方程;0)0(0)2(2)1(4zyx.001221zyx.)0,2,1(32切平面和法线方程处的在点求曲面xyezz例1,1),,(22zyxzyxF令)4,1,2()4,1,2(}1,2,2{yxn},1,2,4{切平面方程为;0)4()1(2)2(4zyx法线方程为.142142zyx解.)4,1,2(122切平面和法线方程处的在点求曲面yxz例2◆注：空间曲面方程形为),(yxfz曲面在M处的切平面方程为:,))(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx曲面在M处的法线方程为:.1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,),(),,(zyxfzyxF令曲面在M处的切平面的法向量为:},1),,(),,({0000yxfyxfnyx所求切平面的法向量为:,0)31()31()31(zyx法线方程为:.zyx解.)31,31,31(1222切平面和法线方程处的在点求球面zyx例4切平面方程为:},32,32,32{n;3zyx即,1),,(222zyxzyxF令))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数),(),(00yxyxfz曲面:z=f(x,y)在M处的切平面方程为),(yxfz在),(00yx的全微分，表示曲面),(yxfz在点),,(000zyx处的切平面上的点的竖坐标的增量.◆全微分的几何意义:◆空间曲线的切线与法平面◆曲面的切平面与法线三、小结,)()()(.1tzztyytxx)};(),(),({tztytxT,)()(.2xzzxyy)};(),(,1{xzxyT,0),,(0),,(.3zyxGzyxF};,,{21JJJT曲面的方程写为,0),,(zyxF切平面的法向量为.},,{MzyxFFFn切向量法向量Thankyou!